INTEGRAL DENGAN MENGGUNAKAN SUBSTITUSI Bila integral tak tentu tidak dapat langsung diintegralkan dng menggunakan rumus-rumus yang telah dibicarakan didepan , maka kita rubah bentuk integrannya ke suatu bentuk dengan jalan mengganti perubah x, dng suatu fungsi yg mempunyai perubah baru, misal u atau t, sedemikian sehingga dapat diintegralkan dng cara-cara yang sudah diketahui. misal x = f(t) ; mk dx = f’(t) dt

1.Substitusi Aljabar

Contoh 2:

Substitusi Trigonometri Jika integran memuat bentuk : 1.a2 – u2, substitusi : u= a sin t , du=a cos t dt atau u= a cos t , du=-a sin t dt 2. a2 + u2, substitusi: u= a tg t , du = a sec 2 t dt 3. u2 – a2, substitusi: u = a sec t, du = a sec t tg t dt Dimana : u suatu fungsi , a suatu konstanta

Contoh 1:

Cara mengembalikan ke variabel x tg t = (5x ) / 4, mk sin t = (5x) / ( )

Contoh 2:

Cara mengembalikan ke var. semula Substitusi : x = 2 sin t , mk sin t = x/2, t = arc sin x/2 Jika digambarkan dlm sebuah segitiga siku-siku: cos t = / 2 2 x t

INTEGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL Suatu polinomial dlm x adalah suatu fungsi dng bentuk aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + a3xn-3 +.....+an-1 +an dimana ai ( i =1,2,3,...., n) adalah konstante dan n bulat positif dan termasuk nol. Tiap - tiap polinomial dng kofisien riil dapat dinyatakan sebagai perkalian dari faktor-faktor linier yang riil dlm bentuk ax + b dan / atau faktor-faktor kwadratis yang riil dlm bentuk ax2+bx+c Suatu fungsi F(x) = f(x) / g(x) , dimana f(x) dan g(x) adalah polinomial, disebut fungsi pecah rasional

1. SEMUA FAKTOR DARI PENYEBUT LINIER DAN BERLAINAN Jika pecahan rasional , g(x) dapat dinyatakan sebagai perkalian faktor-faktor linier yang berlainan , misalnya : g(x) = (x-a1) (x-a2) (x-a3) (x-a4) ...... (x-an) dimana : a1 a2 a3 a4 ............. An maka : F(x) = f (x) / g (x ) = Utk menghitung A1,A2,A3, ...An kedua bagian diatas disamakan, atau mengambil harga-harga tertentu. Jadi disini ada dua metode utk menghitung koefisien –koefisien tak tertentu

Penyebut : x3-7x+6 = (x-1) (x-2) (x+3) CONTOH Tentukan Penyebut : x3-7x+6 = (x-1) (x-2) (x+3) Oleh karena itu, pecahan rasional dapat ditulis : Mk dipenuhi bentuk : 2x+1= A1 (x-2) (x+3) + A2 (x-1) (x+3) + A3 (x-1)(x-2) Utk mencari A1,A2 dan A3 diambil dua metode :

Metode 1 Bagian kiri identik dng bagian kanan, berarti koefisien-koefisien dari x yang berpangkat sama dari kedua bagian tersebut harus sama Jadi : koefisien x2 0 = A1 +A2 +A3 koefisien x 2 = A +2A2 -3 A3 koefisien x0 1 = -6A1 -3A2 +2A3 Dari ketiga persamaan diatas, dapat dihitung nilai A1,A2 dan A3, yaitu A1=-3/4 , A2= -1 dan A3= -1/4

Diambil harga x yang tertentu : Untuk x = 1 , 3 = - 4A1, mk A1 = - ¾ Metode 2 2x+1= A1 (x-2) (x+3) + A2 (x-1) (x+3) + A3 (x-1)(x-2) Diambil harga x yang tertentu : Untuk x = 1 , 3 = - 4A1, mk A1 = - ¾ Untuk x = 2 , 5 = 5 A2 , mk A2 = 1 Untuk x = -3 , -5 = 20 A3 , mk A3 = -1/4 Ternyata hasilnya sama dengan metode identitas

Dimana Ai ( i = 1,2,3,...., n ) konstante yang harus dicari 2. SEMUA FAKTOR DARI PENYEBUT LINIER TETAPI ADA BEBERAPA YANG SAMA ( BERULANG ) Untuk tiap faktor linier ax + b yang timbul n kali dalam penyebut dari pecahan rasional , kita tulis sebagai jumlahan dari n pecahan parsiil dalam bentuk : Dimana Ai ( i = 1,2,3,...., n ) konstante yang harus dicari

Contoh :

Sedang dng metode 1 , didapat bahwa A +D = 0, maka A = - 1/8

3. BEBERAPA FAKTOR PENYEBUT ADALAH KWADRATIS DAN TAK BERULANG Untuk tiap –tiap faktor yang mempunyai bentuk : ax2 +bx +c , dinyatakan sebagai pecahan dari bentuk :

Tentukan :

4. BEBERAPA FAKTOR PENYEBUT ADALAH KWADRATIS DAN BERULANG Untuk faktor kwadratis dengan bentuk ax2+bx+c yang berulang n kali dalam penyebut pada pecahan rasional , ditulis sebagai jumlahan dari n pecahan parsial dalam bentuk : Dimana Ai dan Bi konstante yang harus dicari

SOAL HITUNG INTEGRAL BERIKUT :