Barisan dan Deret

Pengertian Barisan Barisan adalah kumpulan dari beberapa bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu. Secara umum barisan dapat dituliskan sbb : u1, u2, u3, u4, . . . . , un Dimana : U1 = Suku pertama U2 = Suku kedua . Un=Suku ke-n

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret Defenisi deret Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret Jika barisan bilangan dinyatakan dengan : u1, u2, u3, u4, . . . .,un-1 , un Maka deret bilangan tersebut dapat dituliskan sbb : Contoh : 1. Deret bilangan asli : 1+2+3+4+5+… 2. Deret Bilanga Prima : 2+3+5+7+11+… 3. dll U1+u2 + u3+ u4 + . . . .+un-1 +un

Menentukan rumus suku ke-n! Contoh 1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut : 2, 4, 8, 16 ? Jawab : Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n! U1= 2 = 21 U2= 4 = 22 U3= 8 = 23 U4 =16 = 24 Jadi dari pola diatas dapat disimpulkan bahwa : un = 2n

Contoh 2. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut : 1.2, 2.3, 3.4, 4.5,…? Jawab : Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n! u1=1.2=1.(1+1) U2=2.3=2.(2+1) U3=3.4=3.(3+1) U4=4.5=4.(4+1) Jadi dari pengamata diatas dapat disimpulkan bahwa rumus suku ke-n adalah Un=n.(n+1)

Cotoh 3. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut ini: 2,5,8,11,… Jawab : Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n! u1=2=2+(1-1).3=3.1-1 U2=5=2+(2-1).3=3.2-1 U3=8=2+(3-1).3=3.3-1 U4=11=2+(4-1).3=3.4-1 Jadi dari hasil pengamatan diatas dapat disimpulkan bahwa rumus suku ke-n adalah : un=2+(n-1).3 atau un=3n-1

Contoh 4. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut : 30,28,26,24,…? Jawab : Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n! U1=30=30-(1-1).2=32-2.1 U2=28=30-(2-1).2=32-2.2 U3=26=30-(3-1).2=32-2.3 U4=24=30-(4-1).2=32-2.4 Jadi dari hasil diatas dapat disimpulkan rumus suku ke-n adalah un=30 – (n-1).2 atau un=32-2n

Contoh 5. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut : 1,4,9,16,…? Jawab : Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suku ke-n! U1=1=1.1=12 U2=4=2.2=22 U3=9=3.3=32 U4=16=4.4=42 Jadi dari hasil yang diperoleh dapat disimpulkan rumus suku ke-n adalah : Un=n2

2. Barisandan deret aritmatika Defenisi Barisan aritmatika: Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap (b). Maka barisan ini adalah barisan Aritmatika. Bilangan tetap b disebut sebagai beda dari barisan . Secara umum jika : u1, u2, u3, u4, . . . . , un , adalah Barisan aritmatika jikadan hanya jika u2-u1=u3-u2=u4-u3=…=un- un-1 = b Contoh : barian bilangan asli : 1,2,3,4,… Dimana : 2-1=3-2=4-3=5-4=…=1=b

Rumus Suku ke-n dari barisan aritmatika ? Jika barisan aritmatika dinyatakan dengan : u1, u2, u3, u4, . . . . , un yang memiliki beda sebesar b maka suku ke-n dapat dinyatakan dengan : Un=u1+(n-1)b Dimana b= un-un-1

Contoh6. Tentukanlah suku ke-10 dari barisan aritmatika berikut : 2,5,8,11,…? Jawab : Dik: barisan : 2,5,8,11,… U1=2 U2=5 Dit : U10= ? b= u2-u1=5-2 =3 Un= u1 + (n-1)b U10=2 +(10-1)3 U10 = 2 + 9.3 U10 = 2 + 27 U10 = 29

Rumus menentukan beda untuk barisan aritmatika ? Jika dua suku yang berbeda dikitahui misalnya : um dan un dimana n>m maka besarnya beda dapat ditentukan sbb: Contoh 7. Tentukanlah beda dan u20 dari barisan aritmatika jika diketahui u10=24 dan u5 =9 ? Jawab :

Jawab : U1= u5 – (5-1).3 U1= 9 – 4.3 = 9 - 12 a=U1= - 3 U20 = -3 + (20-1).3 = -3 + 19.3 U20 = -3 + 57 U20 = 54

Defenisi deret aritmatika : Jika u1, u2, u3, …., un merupakan barisan aritmatika maka penjumlahan dari u1 + u2 + u3 + ….. + un disebut deret aritmatika. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika yang ditulis dengan sn adalah : Jika u1 = a , u2 = a + b, u3 = a + 2b, un = a + (n-1)b maka : Sn = u1 +u2 + u3 + ….. + un Dengan menggantikan

Sn = a+(a+b)+(a+2b)+…+(a+(n-1)b) U1 = a, u2 = a+b, u3 = a+2b, un-1 = a+(n-2)b, dan un = a+(n- 1)b. maka diperoleh : Sn = a+(a+b)+(a+2b)+…+(a+(n-1)b) Sn=(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+(a+(n-3)b)+…+a 2Sn=(2a+(n-1)b)+(2a+(n-1)b)+(2a+(n-1)b)+…+(2a+(n-1)b) nx 2Sn=n.(2a+(n-1)b) Karena Un = a + (n-1)b maka rumus diatas dapat dituliskan sebagai berikut :

Contoh 8. Tentukanlah jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika jika diketahui u1=10 dan u15=94? Jawab : Diketahui : a= u1 = 10 U15= 94 Ditanya : S15 = ? Jb:

Contoh.9 Tentukanlah jumlah dari deret berikut : 3+13+23+33+…+U120. ? Penyelesaian: Diketahui: Deret aritmattika : 3+13+23+33+ + u120. Jb : a = 3, b=13-3=10

Penyelesaian : Diketahui: u9=12, u21 =72 Dit : S5=? Jb: Contoh.3 Suku ke-9 dan suku ke-21 dari suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 12 dan 72. tentukanlah Jumlah 5 suku pertama deret tersebut ? Penyelesaian : Diketahui: u9=12, u21 =72 Dit : S5=? Jb:

Menentukan Un jika Rumus Sn diberikan. Dari materi sebelumnya telah diketahui bahwa : Sn = u1+u2+u3+ …+un-2+un-1 + un Sn-1 = u1+u2+u3+ …+un-2+un-1 - Sn – Sn-1 = Un Jadi rumus suku ke-n dari deret tersebut adalah : Un = Sn – Sn-1

Sn-1 =5(n-1)2 +2(n-1) = 5(n2 – 2n + 1) + 2n – 2 Contoh 1. Tentukanlah suku ke-n dan beda dari deret aritmatika yang jumlah n suku pertamanya dinyatakan dengan Sn=5n2+2n ? Penyelesaian : Diketahui : Sn=5n2 + 2n Dit : Un=? Dan b=? Jb. Sn = 5n2+2n Sn-1 =5(n-1)2 +2(n-1) = 5(n2 – 2n + 1) + 2n – 2 Sn-1 = 5n2 – 10n + 5 + 2n – 2 = 5n2 – 8n + 3 Un= Sn – Sn-1 = (5n2 + 2n) – (5n2 – 8n + 3) =10n – 3 Jadi Un = 10n – 3 b= Un – Un-1 = (10n – 3) – (10 (n-1) – 3) b= 10n – 3 – ( 10n – 10 – 3) = 10 Jadi bedanya adalah b = 10

Menentukan beda dan Suku ke-n jika sn diberikan dalam fungsi kuadrat n Jika sn dinyatakan dalam fungsi kuadrat n dimana Sn = f(n) = an2 + bn + c maka Rumus suku ke-n dan bedanya dapat ditentukan dengan menggunakan turunannya sebagai berikut :

Penyelesaian : Diketahui : Sn=5n2+2n Contoh 10. Tentukanlah suku ke-n dan beda dari deret aritmatika yang jumlah n suku pertamanya dinyatakan dengan Sn=5n2+2n ? Penyelesaian : Diketahui : Sn=5n2+2n Dit : Un=? Dan b=? Jb: Sn = 5n2 + 2n Sn’ = 10n + 2 Sn” = 10 Jadi :

3. Barisan dan deret Geometri Defenisi Barisan Geometri: Jika rasio antara suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap (r). Maka barisan ini adalah barisan Geometri. Bilangan tetap r disebut sebagai rasio dari barisan . Secara umum : u1, u2, u3, u4, . . . . , un merupakan barisan geometri , jika dan hanya jika : Contoh : barisan bilangan 2n : 1,2,4,8,16,32,…

Tugas : Menentukan barisan geometri atau bukan. Dimana : Tugas : Menentukan barisan geometri atau bukan. Tentukan apakah setiap barisan berikut adalah barisan geometri. Jika ya, tentukan rasionya. a. 3, 9, 27, 81, .... b. 1, 3,4, 7, 11, .... c. 256, 64, 16, 4, ... Jawabnya : a. Rasio antara setiap dua suku yang berdekatan. Merupakan barisan geometri dengan rasio = 3

b. Rasio antara setiap dua suku yang berdekata Bukan barisan geometri karena rasionya tidak sama. c. Rasio antara setiap dua suku yang berdekatan Merupakan barisan geometri dengan rasio = 1/4

Rumus Suku ke-n dari barisan Geometri ? Jika barisan geometri dinyatakan dengan : u1, u2, u3, u4, . . . . , un yang memiliki rasio r maka suku ke-n dapat dinyatakan dengan : Un=u1.rn-1 Dimana r = Atau, Jika u1 = a , maka : Un =a.rn-1

Contoh 11. Suku Ke-n barisan Geometri. Tentukanlah suku ke-8 dan suku ke-n dari barisan berikut : 2, 6, 18, 54, …. Jawab: a=2 r= jadi : Un = a.rn-1=2.3 n-1 U8 = 2.3 8-1 = 2.37 = 2.(2187) = 4374

Contoh 12. Suku Ke-n barisan Geometri. Dari suatu barisan geometri diketahui Tentukanalah rasionya. Jawab: Lakukan perbandingan antara suku-suku. Jadi rasionya adalah 2

Contoh 13. Suku Ke-n barisan Geometri. Dari suatu barisan Geometri diketahui U1=-2, un= -162 dan rasio r = -3. Tentukan nilai n. Jawab : Jadi nilai n adalah 5

Contoh 14. Soal aplikasi Perkembangan bakteri: Banyak suatu bakteri tertentu menjadi dua kali lipat setiap jangka waktu 3 hari. Jika banyak awal bakteri adalah 20, berapa populasi bakteri pada akhir masa waktu 24 hari. Jawab : Selesaikan dengan prinsip barisan.

Banyak bakteri pada posisi awal (u1=20) 1x3 hari berikutnya jlh bakteri menjadi U2= 2x20=40 2x3 hari berikutnya jlh bakteri menjadi U3= 2x40=80 3x3 hari berikutnya jlh bakteri menjadi U4= 2x80=160 . 8x3 hari berikutnya jlh bakteri menjadi U9=…..? Jadi jumlah bakteri pada akhir 24 hari sama dengan U9= ….? a = 20, r = 40/20 = 2 U9=a.r8 = 20.28= 20.(256) = 5120. Jadi jumlah bakterinya adalah 5.120.

Contoh 15. Soal aplikasi Pertumbuhan Penduduk. Di suatu daerah permukiman baru, banyak pendudukpada tanggal 1 januari 1998 adalah 20.000 orang.Jika tingkat pertumbuhannya 10 % pertahun. Hitunglah banyak penduduk pada tanggal 1 januari 2004. Jawab : Selesaikan dengan prinsip barisan.

Banyak Jlh penduduk pada posisi awal (u1=20000) 1 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U2= 20000 + 0.1(20000) =1.1(20000) 2 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U3= 1.1(20000) + 0.1(1.1(20000)) =1.21(20000)=(1.1)2(20000) 3 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U4= (1.1)2 (20000) + 0.1((1.1)2 (20000)) =(1.1)3 (20000) . 6 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U7= …. Jadi jumlah penduduk pada 1 januari 2004 sama dengan U7= ….? a = 20000, r =1.1(20000)/20000=1.1 U7=a.r6 = 20000.(1.1)6 = 20000.(1.771561) = 35431 Jadi jumlah penduduk pada 1 januari 2004 adalah 35.431 orang.

Defenisi deret Geometri : Jika u1, u2, u3, …., un merupakan barisan geometri maka penjumlahan dari u1 + u2 + u3 + ….. + un disebut deret geometri. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri yang ditulis dengan sn adalah : Jika u1 = a , u2 = ar, u3 = ar2, un = ar(n-1) maka : Sn = u1 +u2 + u3 + ….. + un Dengan mensubstitusikan dengan suku – suku diatas, diperoleh :

1. Jumlah suatu barisan aritmatika dinyatakan dengan Sn= 3x2 + 5x – 3 1. Jumlah suatu barisan aritmatika dinyatakan dengan Sn= 3x2 + 5x – 3.tentukanlah suku ke-n dan beda dari barisan tersebut? 2. Suatu barisan geometri diketahui sebagai berikut : 4,12,36,..., tentukanlah suku pertama, ratio, suku ke-6, dan suku ke-n dari barisan tersebut? 3. Diketahui suku pertama dan ratio dari suatu barisan geometri sebagai berikut 32 dan 8, tentukanlah suku ke 5 dan suku ke-n dari barisan tersebut?

Sn = a + ar + ar2 + … + arn-2 + arn-1 r.Sn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1 + arn - - (1 – r) Sn = a – arn Dimana : Sn = jumlah n suku pertama a = nilai suku pertama r = Ratio / perbandingan

Untuk menghindari nilai negarif pada rumus diatas maka sebaiknya : gunakan rumus : Dan rumus : Jika maka rumus diatas dapat dituliskan menjadi Sn= C.rn - C

Contoh 16. Jumlah n suku pertama Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret : 3 + 6 + 12 + …? Jawab : Dik : a = 3 r = 2 ; r>1 Dit : S8 = …? Jb. Jadi jumlah delapan suku pertama dari deret di atas adalah 765

Contoh 17. Jumlah n suku pertama Jumlah adalah . Tentukanlah banyak suku dari deret ini. Jawab: Dik : a = r = ; r > 1 Sn = Dit : n = ...? Jb:

Jadi banyak sukunya adalah 6

Contoh 18. Jumlah n suku pertama Jumlah n suku pertama suatu deret dirumuskan oleh Sn = 23n-1. Tentukan suku pertama, rasio, dan suku ke-n dari deret tersebut ?. Jawab : Sn = 23n-1 a = u1 = S1 = 23.1-1 = 23-1 = 8-1=7 Sn= C.rn - C Sn = 1.8n – 1 ini berarti : r = 8 dan c = 1 Un = arn-1= 7.8n-1. Jadi diperoleh nilai suku pertama = 7, ratio = 8 dan rumus suku ke-n = 7.8n-1.

Deret Geometri takhingga. Untuk -1<r<1 Untuk harga -1<r<1, maka jumlah deret geometrinya sampai suku ke takhingga akan diperoleh sebagai berikut : Untuk maka harga , maka rumus diatas akan menjadi :

Dengan memasukkan nilai diatas ke rumus suku ke-n akan diperoleh : 2. Untuk r < -1 dan r > 1 Untuk , maka nilai dari Dengan memasukkan nilai diatas ke rumus suku ke-n akan diperoleh : Jadi nilai dari jumlah suku tak hingga untuk r < -1 dan r > 1 adalah

2. Untuk r < -1 dan r > 1 Untuk , maka nilai dari Dengan memasukkan nilai diatas ke rumus suku ke-n akan diperoleh :

Contoh 19. Deret geometri tak hingga konvergen Tentukan jumlah deret tak hingga Jawab : Jb : Dik : a = 3 Dit :

Contoh 20. Soal aplikasi pada Deret geometri tak hingga konvergen Panjang lintasan Bola Jatuh Bebas. Sebuah bola dijatuhkan vertikal dari ketinggian 4 meter dan memantul kembali dengan ketinggian kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus sampai bola berhenti. Hitunglah : a.Panjang lintasan bola hingga bola menyentuh permukaan yang ke-6 kali. b. Panjang lintasan bola sampai berhenti. h4

Untuk menyelesaikan kasus diatas coba kita amati gambar berikut. Jawab : a. Untuk menyelesaikan kasus diatas coba kita amati gambar berikut. h0 = 1 x h1 = 2x h2 = 3x dst h1 h0=4m h2 h3 h4

Jadi : Dimana :

Dengan demikian :

Dari gambar diatas dapat kita tuliskan bahwa : Sn=h0+2h1+2h2+2h3+…. jb b: Dari gambar diatas dapat kita tuliskan bahwa : Sn=h0+2h1+2h2+2h3+…. Sn = h0 +2(h1+h2+h3+….) Dimana :

Soal ulangan harian : Tentukanlah dua suku berikutnya dari barisan berikut ini: 1, 3, 5, 7, …,…. 2, 8, 26, 80, …., …. 1, 8, 27, 64, ….., …. 2, 5, 7, 3, 6, 8, 4, ….,…. 11, 19, 27, 9, 17, 25, 7, …., …. Pola bilangan : Tentukan bilangan berikutnya dari barisan belangan berikut ini : a. 100, 4, 90, 7, 80, … b. 5, 7,10, 12, 15, …. c. 2, 4, 2, 4, 6, 8, 6, 8, 10, 8, …. d. 9, 5, 1, 2, 10, 6, 2, 3, 11, 7, …. e. 1, 9, 2, 3, 9, 4, 5, 9, ….

Amatilah suku-suku dalam barisan berikut, Kemudian, tentukan suatu aturan rumus untuk suku ke-n dari barisan tersebut : a. 1, 3, 9, 27,… b. 2, 5, 10, 17, 26, …. c. 2, 6, 12, 30, …. Tuliskan lima suku pertama dari masing-masing barisan aritmatika berikut : a. U1=4, dan b= b. U1=5, dan b = 20 Gunakan suku umum berikut ini untuk menulis lima suku barisan : a. Un=14+3n b. Un = 3,2-0,2n

Tentukan nilai n dari barian berikut ini : a. Un = 27,9 dan Un = 6,9 + 1,4n b. Un = 63/4 dan Un = (23/4)+1/2(n) Tentukanlah nilai dari suku pertama dan beda dari barisan aritmatika berikut : a. U20 = 42 dan U10 = 32 b. U3 = 5 dan U8 = -5 Tentukanlah jumlah n suku pertama dari setiap deret aritmatika berikut : a. n = 18 ; U1 = 40 ; dan b = -7 b. n = 20 ; U1 = 100 ; dan b = -1 9. Tentukanlah jumlah n suku pertama dari setiap deret aritmatika berikut : a. n = 16 ; 3+7++11+… b. n = 10 ; -8+(-4)+0+…

10. Tentukanlah jumlah suku dari barisan berikut : Hitunglah jumlah dari : a. Semua bilangan bulat positip diantara 200 dan 600 yang habis dibagi 4. b. Semua bilangan bulat positip diantara 1000 dan 1600 yang habis dibagi 3 Tentukan Jumlah semua bilangan asli yang terdiri atas 2 angka dan habis dibagi 5

A. Barisan Aritmetika Definisi Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b. Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 4, 7, 10, 13, ... b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan Aritmetika c. 30, 25, 20, 15, ... Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).

Contoh : 1, 4, 7, 10, 13, ... +3 +3 +3 +3 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3. b. 2, 8, 14, 20, ... +6 +6 +6 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. 30, 25, 20, 15, ... –5 –5 –5 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut. Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = Un – Un – 1.

U1 = a U2 = U1 + b = a + b U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b . Un = Un-1 + b = a + (n – 1)b Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Keterangan: Un = suku ke-n a = suku pertama b = beda n = banyak suku Un = a + (n – 1)b

Contoh 1 : Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, .... Jawab: –3, 2, 7, 12, … Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5. Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh : Un = –3 + (n – 1)5. Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32. Suku ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh 2 : Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut. Jawab: Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3,dan Un = 40. Rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b sehingga; 40 = –2 + (n – 1)3 40 = 3n – 5 3n = 45 Karena 3n = 45, diperoleh n = 15. Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

B. Deret Aritmetika Definisi Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D . Dengan demikian, Dn = U1 + U2 + U3 + ... + Un . Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus Dn , perhatikan contoh berikut : Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. Dn = U1 + U2 + U3 + ... + Undisebut deret aritmetika, dengan Un = a + (n – 1)b.

Contoh 1 : Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut. Jawab: Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut. D5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 D5 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2 2D5 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 2D5 = 5 x 16 D5 = D5 = 40 Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

Demikian seterusnya sehingga Dn dapat dituliskan Menentukan rumus umum untuk D sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Dn = U1 + U2 + U3 + …+Un-2 + Un-1 + Un. Dapat dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya. Un-1 = Un – b Un-2 = Un-1 – b = Un – 2b Un-3 = Un-2 – b = Un – 3b Demikian seterusnya sehingga Dn dapat dituliskan Dn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un-b) + Un…(1)

Persamaan 1 dapat ditulis dengan urutan terbalik sebagai berikut: Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a …(2) Jumlahkan Persamaan (1) dan (2) didapatkan Dn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un-b) + Un Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a 2Dn = (a + Un ) + (a + Un )+ (a + Un) + ... + (a + Un) n suku Dengan demikian, 2Dn = n(a + Un ) Dn = (1/2) n(a + Un ) Dn = (1/2) n(a + (a + (n – 1)b)) Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Keterangan: Dn = jumlah n suku pertama a = suku pertama b = beda Un = suku ke-n n = banyak suku Dn = (1/2) n(a + Un ) Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b)

Contoh 2: Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +.... Jawab: Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100. D100 = x 100 {2(2) + (100 – 1)2} = 50 {4 + 198} = 50 (202) = 10.100 Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100.

Contoh 3: Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100. Jawab: Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan Un = 99. Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ; Un = a + (n – 1)b 99 = 3 + (n – 1)3 3n = 99 n = 33 Jumlah dari deret tersebut adalah

Dn = n (a + U ) D33 = x 33(3 + 99) = 1.683 Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683

Soal – soal Carilah suku ke – 20 dari barisan aritmatika, 3, 8, 13, 18, … Carilah suku ke – 27 pada setiap barisan aritmatika berikut ini : a. 3, 7, 11, … b. 15, 13, 11, 9, … c. -8, -4, 0, 4, … d. -6, -1, 4, 9, … Suku ke -3 dan suku ke -16 dari barisan aritmatika adalah 13 dan 78. Tentukanlah suku pertama dan bedanya. Berapakah Un dan Dn Terdapat 60 suku dalam barisan aritmatika yang mana suku pertama adalah 9 dan suku terakhir adalah 27. Tentukan Un dan Dn

5. Carilah jumlah dari a. 40 bilangan bulat positif ganjil yang pertama b. 25 bilangan bulat positif genap yang pertama c. 60 bilangan bulat positif yang pertama

BARISAN GEOMETRI DEFINISI: Barisan geometri adalah suatu barisan dengan pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum U1, U2, U3, …, Un atau a, ar, ar2, …, arn-1

Bentuk umum: U1, U2, U3, …, Un atau a, ar, ar2, …, arn-1 Jika diketahui suatu barisan geometri U1, U2, …, Un dan dimisalkan U1 = a dengan rasionya r maka dapat ditulis: U1 = a U2 = U1 .r = a.r = ar2-1 U3 = U2.r = (ar) r = ar2 = ar3-1 : Un = a.r.r…r = arn-1

Rumus suku ke-n barisan geometri Misalkan terdapat suatu barisan geometri U1, U2, …, Un maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertamanya a dan rasionya r adalah : Un = ar n-1 pada barisan geometri, berlaku

1. Suku ketiga dan suku keenam dari suatu barisan geometri berturut- turut adalah 32 dan 2.048. Tentukan suku pertama dan rasio deret geometri itu ! Jawab : U3 = 32 U6 = 2048 32 r3=2048 r3=64 r=4 Misal : U3 = a . r2 32 = a . 42 a = 2

3 buah bilangan a, b, dan c membentuk barisan geometri. Tunjukan bahwa sama dengan Jawab :

3.Suku pertama sebuah barisan geometri adalah , sedangkan suku keempatnya sama dengan . Tentukan rasio dan suku ke-enambelas dari barisan itu ! Jawab : = U4 = U4 = a . r3 = . r3 r3 = r = =

U16 = a . = . = . = . =

4. Tentukan nilai rasio dari barisan geometri yang terbentuk pada : a 4. Tentukan nilai rasio dari barisan geometri yang terbentuk pada : a. Bilangan-bilangan di antara ¼ dan 8, disisipkan sebanyak 4 buah bilangan. b. Bilangan-bilangan di antara 2 dan 162, disisipkan sebanyak 3 buah bilangan, Jawab : a) x = ¼ , y = 8, dan k = 4(genap), maka nilai r hanya ada 1 kemungkinan :

b) x = 2, y = 162, dan k = 3 (ganjil), maka nilai r ada 2 kemungkinan : r = +3 atau r = -3 Jadi, nilai rasio dari barisan geometri yang terbentuk adalah r =3 atau r = -3. Untuk r = 3, barisan geometri yang terbentuk 2, 6, 18, 54, 162, sedangkan untuk r = -3, barisan geometri yang terbentuk adalah 2 , -6, 18, -54, 162.

soal barisan geometri Suku ke-5 barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan ke-6 adalah 27. Suku ke-2 adalah . . . a. 3 c. 7 e. 12 b. 5 d. 9 2. Jika k + 3, 5k - 9, 11k + 9 membentuk barisan geometri, maka jumlah semua nilai k yang memenuhi adalah . . . a. 66/4 c. 66/7 e. 66/11 b. 66/5 d. 66/10

3. Suku – suku barisan geometri tak hingga adalah positif, jumlah suku U1 + U2 = 45 dan U3 + U 4 = 20, maka jumlah suku barisan itu adalah . . . a. 65 c. 90 e. 150 b. 81 d. 135 4. Suatu tali dibagi menjadi tujuh bagian dengan panjang yang membentuk suatu barisan geometri. Jika yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 192 cm, maka panjang tali semula sama dengan . . . a. 379 b. 383 e. 387 b. 381 d. 385

5. Jika suku pertama barisan geometri adalah 3 dan suku ke-6 adalah 96, maka 3072 merupakan suku ke . . a. 9 c. 11 e. 13 b. 10 d. 12 6. Diketahui a dan b adalah akar – akar persamaan x2 – 2x + k = 0 dan a – 5/2, a + b, a + 5 merupakan barisan geometri dengan suku – suku positif. Nilai k = . . . a. -3 c. 2 e.6 b. -2 d. 3 7. Jika suku pertama dan keempat barisan geometri berturut – turut a1/2 dan a3x+1/2 sedang suku kesepuluh sama dengan a91/2 maka nilai x adalah . . . a. 25 c. 5 e. 15 b. -5 d. 16

8. Dalam suatu barisan geometri U1 + U3 = p dan U2 + U4 = q maka U4 = . . . a. p3/ ( p2 + q2 ) c. ( p3 + q3 ) / ( p2 + q2 ) e. q2 / ( p2 + q2 ) b. q3 / ( p2 + q2 ) d. p2 / ( p2 + q2 ) 9. Diketahui x1 dan x2 adalah akar – akar positif persamaan kuadrat x2 + ax + b = 0. Jika 12, x1, x2 adalah tiga suku pertama barisan aritmatika dan x1, x2, 4 adalah tiga suku pertama barisan geometri, maka diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah . . . a. 6 c. 15 e. 54 b. 9 d. 30

10. Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio r > 1. Jika suku tengah ditambah 4, maka terbentuk sebuah barisan aritmetika yang jumlahnya 30. Hasil kali ketiga bilangan ini adalah . . . a. 64 c. 216 e. 1000 b. 125 d. 343

PENERAPAN KONSEP BARISAN DAN DERET

Kaidah barisan dan deret dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian perhitungan, misalnya bunga bank, kenaikan produksi, dan laba/rugi suatu usaha. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, kita harus dapat membedakan apakah persoalan tersebut termasuk barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika ataupun deret geometri. Kemudian, kita dapat menyelesaikan persoalan tersebut menggunakan rumus-rumus yang berlaku.

Contoh 1: Ketika awal bekerja, seorang karyawan sebuah perusahaan digaji Rp700.000,00 per bulan. Setahun berikutnya, gaji per bulannya akan naik sebesar Rp125.000,00. Demikian seterusnya untuk tahun-tahun berikutnya. Berapa gaji karyawan itu per bulan untuk masa kerjanya sampai pada tahun ke-9? Jawab: Kasus ini adalah aplikasi dari barisan aritmetika. Suku awal a = 700.000 Beda b = 125.000 n = 9

Jadi suku ke-9, dapat ditentukan sebagai berikut. U = a + (n – 1)b U = 700.000 + (9 – 1) 125.000 = 700.000 + 1.000.000 = 1.700.000 Jadi, gaji per bulan karyawan itu pada tahun ke-9 adalah Rp1.700.000,00.

Contoh 2: Setiap awal bulan Nyoman menabung Rp50.000,00 di suatu bank yang memberikan bunga 1% per bulan. Pada tiap akhir bulan, bunganya ditambahkan pada tabungannya. Berapakah uang Nyoman di bank itu pada akhir tahun ke-1 jika ia tidak pernah mengambil tabungannya sampai akhir tahun ke-1? Jawab: Misalkan tabungan awal adalah Rp50.000,00. Pada akhir bulan ke-1 Jumlah uang Nyoman adalah sebagai berikut ; Bunga yang ia peroleh = 50.000 × 1% = 50.000 × 0,01 Jumlah uang Nyoman = 50.000 + (50.000 × 0,01) = 50.000(1 + 0,01) = 50.000(1,01)

Pada akhir bulan ke-2 Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah jumlah uang pada akhir bulan ke-1 ditambah bunga sehingga diperoleh ; = 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = 50.000(1,01)(1 + 0,01) = 50.000(1,01) Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi =50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 0,01) Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-2 adalah 50.000(1,01) + 50.000(1,01) .

Pada akhir bulan ke-3 Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = 50.000(1,01) (1 + 0,01) = 50.000(1,01) (1,01) = 50.000(1,01) Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = 50.000(1,01)(1 + 0,01) = 50.000(1,01)(1,01) Uang yang sudah dimasukkan pada awal bulan ke-3 menjadi 50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 1%)

Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-3 adalah 50 Demikian seterusnya, sampai akhir bulan ke-12. Dari hasil perhitungan sampai bulan ke-3, dapat disimpulkan bahwa jumlah uang tabungan Nyoman adalah 50.000(1,01) + 50.000(1,01)2 + 50.000(1,01)3 + ... + 50.000(1,01)12 = 50.000{1,01 + (1,01)2 + (1,01)3 + ... + (1,01)12} Deret 1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12 merupakan deret geometridengan a = 1,01, r = 1,01, dan n = 12. S =

= = 12,83 Oleh karena itu, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah 50.000 {1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12} = 50.000 × 12,83 = 641.500 Jadi, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah Rp641.500,00.