Masalah Gerak Masalah MaxMin Teorema Nilai Rata-rata PERTEMUAN 11 Masalah Gerak Masalah MaxMin Teorema Nilai Rata-rata

Gerak Partikel Posisi suatu partikel mengikuti persamaan: s = 2t3 - 9t2 +24 t - 1 Tentukan: Kecepatan dan percepatan partikel setiap saat Kapan partikel bergerak ke kiri dan kapan partikel bergerak ke kanan Kapan partikel berhenti dan kemudian bergerak lagi Kapan gerakan partikel dipercepat dan kapan gerakannya diperlambat

Gerak Partikel Posisi suatu partikel mengikuti persamaan: s = 3t3 + 3/t Tentukan: Kecepatan dan percepatan partikel setiap saat Kapan partikel bergerak ke kiri dan kapan partikel bergerak ke kanan Kapan partikel berhenti dan kemudian bergerak lagi Kapan gerakan partikel dipercepat dan kapan gerakannya diperlambat

MASALAH NILAI EKSTREM Contoh: 1. Hasil kali dua bilangan adalah 9 menyangkut pemodelan Contoh: 1. Hasil kali dua bilangan adalah 9 Tentukan bilangan-bilangan itu agar jumlahnya minimum! 2. Dalam sebuah bola berjari-jari 60 cm dibuat kerucur tegak yang lingkaran atas dan titik puncaknya terletak pada permukaan bola. Tentukan ukuran kerucut yang volumenya terbesar, kemudian hingga perbandingan antara volume kerucut dan bola!

Minimax Cari (jika mungkin) di mana dan berapa nilai minimum dan maksimum dari:

Minimax & Modelling Ali bermaksud memagari dua kandang siku empat berdampingan yang identik, masing-masing seluas 900 m2 seperti diperlihatkan pada gambar. Berapa x dan y agar pagar kawat yang diperlukan sesedikit mungkin?

Minimax & Modelling Halaman sebuah buku harus memuat 27 cm2 cetakan. Jika marginpinggir atas, pinggir bawah, dan sisi kiri adalah 2 cm dan pinggir sisi kanan adalah 1 cm, berapa ukuran halaman yang harus digunakan agar pemakaian kertas sesedikit mungkin

Minimax, Modelling, Ekonomi Raju yakin bahwa ia dapat menjual tekstilnya sebanyak 4000 m apabila ia menjualnya dengan harga Rp 6000,_/m, dan bahwa penjualan bulanannya akan naik sebanyak 250 m apabila ia memberikan diskon sebesar Rp 150,_/m. Perkirakan harga yang akan memaksimumkan nilai penjualan.

Kerja Kelompok Di Kelas Buat masalah yang sama seperti contoh tetapi lebih dikembangkan Presentasikan sesuai urutan kelompok Siapkan Pertanyaan untuk kelompok lainnya Kerjakan Beberapa soal yang berkaitan

Teorema Nilai Rata-rata Jika f kontinu pada [a,b] dan mempunyai turunan pada (a,b), maka terdapat suatu c є (a,b) sedemikian sehingga

Ilustrasi an Contoh Diketahui f(x) = x2+1, x є [0,1]. Hitung nilai rata-rata f dan tentukan c є (0,1) sedemikian sehingga f ’(c) sama dengan nilai rata-rata f.

PENGGAMBARAN GRAFIK CANGGIH PERTEMUAN 12 NILAI MAX MIN FUNGSI KEMONOTONAN KECEKUNGAN PENGGAMBARAN GRAFIK CANGGIH

Pengertian Nilai Max Min Fungsi Misalkan f : D → R dan c є D. Nilai f(c) disebut nilai maksimum apabila f(c) ≥ f(x) untuk setiap x є D. Nilai f(c) disebut nilai minimum apabila f(c) ≤ f(x) untuk setiap x є D. Nilai maksimum atau minimum disebut nilai ekstrim

Contoh Misalkan f(x) = x2,x є [-1,3] Contoh Misalkan f(x) = x2,x є [-1,3]. Nilai maksimumnya adalah 9 [= f(2)], sedangkan nilai minimumnya adalah 0 [= f(0)]. Buat Sketsa Grafiknya

Teorema Eksistensi Nilai Ekstrim Jika f kontinu pada [a,b], maka f akan mencapai nilai maksimum dan minimum pada [a,b]. Teorema ini mengatakan bahwa kekontinuan merupakan syarat cukup bagi eksistensi nilai ekstrim. Fungsi pada Contoh, misalnya, merupakan fungsi yang kontinu pada [-1,3] dan fungsi ini mempunyai nilai maksimum dan minimum pada [-1,3]. Fungsi yang tidak kontinu mungkin saja mempunyai nilai ekstrim, sangat tergantung dari fungsinya (berikan contoh)

Teorema Lokasi Titik Ekstrim Misalkan daerah asal f adalah selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah merupakan titik kritis, yakni c merupakan (i) titik ujung selang I, atau (ii) titik stasioner f, yakni f ’(c) = 0, atau (iii) titik singular f, yakni f ’(c) tidak ada. Teorema ini mengatakan bahwa nilai ekstrim hanya mungkin tercapai di titik kritis, karena itu teorema ini dikenal pula sebagai Teorema Titik Kritis. Jadi untuk menentukan nilai ekstrim suatu fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu.

Latihan Latihan.1. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = -2x3 + 3x2 + 1 pada [-1,3]. Ingat tentukan terlebih dahulu titik kritis Latihan 2. Tentukan titik-titik kritis fungsi f(x) = 50x – x2/2, jika 0 ≤ x ≤ 20, = 60x – x2, jika20 < x ≤ 60 Tentukan juga nilai Max dan Min nya

Kemonotonan Fungsi f dikatakan naik pada I apabila untuk setiap x, y є I dengan x < y berlaku f(x) < f(y). Fungsi f dikatakan turun pada I apabila untuk setiap x, y є I dengan x < y berlaku f(x) > f(y) Fungsi f dikatakan monoton pada I apabila f naik atau turun pada I. Catatan. I dapat berupa selang buka atau tutup

Teorema Misalkan f kontinu dan mempunyai turunan pada I Teorema Misalkan f kontinu dan mempunyai turunan pada I. Jika f ’(x) > 0 untuk setiap x є I, maka f naik pada I. Jika f ’(x) < 0 untuk setiap x є I, maka f turun pada I

KECEKUNGAN Teorema Misalkan f mempunyai turunan kedua pada I. Jika f ’’(x) > 0 untuk setiap x є I, maka grafik fungsi f cekung ke atas pada I. Jika f ’’(x) < 0 untuk setiap x є I, maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada I.

Titik Balik / Titik Belok Titik (c,f(c)) disebut titik belok (di buku: titik balik) f apabila f cekung ke atas di kiri c dan cekung ke bawah di kanan c, atau sebaliknya. Cekung atas Monoto naik Monoto turun Cekung bawah

LATIHAN Dari fungsi f(x) = x3 – 2x2 + x + 1 [-1,1] dan f(x) = x4 – 2x3 + x + 1 [-2,2] Tentukan : a. Titik Kritis b. Nilai Max dan Min c. Kemonotonan fungsi d. Kecekungan fungsi e. Titik Belok fungsi

Menggambar Grafik Fungsi Kita telah melihat bagaimana informasi tentang kemonotonan dan kecekungan dapat dipakai untuk menggambar grafik fungsi dengan memperhatikan: * daerah asal dan daerah hasilnya, * titik-titik potong dengan sumbu koordinat, * kemonotonan dan titik-titik ekstrim lokalnya, * kecekungan dan titik-titik beloknya (bila ada)

LATIHAN Gambarkan grafik f(x) = x3 – 16x dengan I=[-3,3] dan

Diskusi kelompok 4.1 no. 1, 2, 7, 8, 11, 19, 21 4.2 no. 4, 5, 15, 19 4.3 no. 2, 6, 8, 12, 13, 4.4 no. 4, 5, 9, 12, 23 4.5 no. 9, 12.