Kaedah Berangka Berkait rapat dengan pengiraan penyelesaian berangka bagi masalah-masalah yang boleh dinyatakan dalam bentuk matematik. Masalah dalam pelbagai bidang dapat diselesaikan menggunakan kaedah berangka.

Dalam kursus matematik, kita telah pelajari beberapa teknik menyelesaikan masalah matematik secara analitis: - Teknik yang senang - Penyelesaian yang tepat - Terhad kepada masalah-masalah tertentu sahaja

Contoh 1: Kamiran Mudah dinilaikan dengan teknik analitis,

tetapi kamiran agak sukar dinilaikan (perlu kaedah berangka)

Contoh 2 Data dari ujikaji dirumus dalam bentuk jadual. x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 f (x) 0.0 4.5 5.7 6.9 7.9 8.5 Apakah nilai f (0.23)?  

Kita akan mendapat kesukaran kerana fungsi f(x) itu tidak diketahui bentuknya. Untuk mengatasi kesukaran ini, kaedah berangka telah direka untuk menyelesaikan masalah tersebut.  

Contoh 3 Persamaan-persamaan berikut terhasil dari penghampiran persamaan aliran haba dalam suatu batang besi boleh selesaikan persamaan ini dengan – persamaan serentak linear.    

Bagaimana kalau bilangan persamaan > 3?   Mencapai angka ratusan ribu? Sesuai dilakukan dengan Kaedah Berangka (Penggunaan Komputer)

Kaedah Berangka samb...... Satu pendekatan utk menyelesaikan masalah matematik yang kompleks dengan hanya menggunakan operasi aritmetik yang ringkas. Suatu bidang yang boleh menyelesaikan masalah gunaan Ia dinyatakan sebagai masalah matematik dengan menggunakan suatu urutan kerja yang melibatkan operasi-operasi nombor.

Kaedah Berangka samb...... Penyelesaian yang didapati bukanlah penyelesaian tepat (terdapat ralat) Kejituan yang tinggi diperolehi dengan melakukan pengiraan lanjut

Kejituan Dalam Kiraan Sekiranya kita gunakan kaedah yang benar benar tepat untuk mengira sesuatu hasil, kejituan hasil dipengaruhi oleh 2 faktor: Kesilapan Ralat (error)

Kesilapan Kesalahan yang dilakukan secara tidak sengaja oleh orang yang melakukan kiraan.

Ralat (error) Disebabkan oleh penghampiran. Adalah disengajakan, kerana kebolehan manusia & mesin terbatas Kesilapan boleh diatasi, tetapi ralat tidak.

Jenis-jenis ralat (error)    1) Ralat data Contoh: 2.37 (2TP) penggunaan data yang diperolehi daripada ujikaji, data diukur pada ketepatan tertentu.

ii)  Ralat Kaedah/Pangkasan Contoh: Siri Taylor penggunaan rumus yang kurang tepat, siri yang tak terhingga telah dipangkas pada suatu sebutan tertentu

iii)   Ralat Pembulatan (rounding error) Contoh: 7.456  7.5 (1TP) pembundaran data yang digunakan dalam kiraan.

Ralat (error), Ralat mutlak & Ralat Relatif Beza nilai tepat dengan nilai hampiran disebut ralat. ralat = nilai tepat – nilai hampiran Jika, N - nilai tepat n - nilai hampiran  - ralat  = N - n

Ralat mutlak, |  | iaitu || = | Nilai tepat – nilai hampiran | = | N - n | Tanda mutlak ini menjamin bahawa ralat tidak akan bernilai negatif.

Ralat relatif, pula ditakrifkan sebagai memberikan

Oleh kerana nilai tepat secara umumnya tidak diketahui, maka

Modulus Maksimum Ralat Pembulatan (rounding error) Biasanya dalam pengiraan, kita dapat menetapkan batas tertinggi ralat atau di kenali sebagi ralat maksimum, e Iaitu jika suatu nombor di beri dengan kejituan k digit perpuluhan, maka ralat maksimumnya ialah . Oleh itu

CONTOH Andaikan X = 3.141592 dibulatkan kepada 2 tempat perpuluhan, x = 3.14 ralat = nilai tepat – nilai hampiran = 3.141592 - 3.14 = 0.001592 Ralat mutlak,

Samb CONTOH Andaikan X = 3.141592 dibulatkan kepada 2 tempat perpuluhan, x = 3.14 Ralat relatif = = 0.001592 = 0.0005067 3.141592 Ralat maksimum, = 0.5 x 10 –2 = 0.5 x 0.01 = 0.005

Contoh Nombor yang dibulatkan 3 tempat perpuluhan,

Kesan Ralat Pembulatan dalam Penambahan & Penolakan Katalah , ialah nilai hampiran bagi dengan ralat .

Operasi penambahan Ralat,

Operasi penolakan Ralat,

Modulus ralat dari penambahan atau penolakan nombor-nombor adalah kurang atau sama dengan jumlah modulus ralat bagi tiap-tiap nombor berkenaan.

Contoh Dengan seberapa jitu yang boleh, dapatkan nilai bagi 6.72 + 2.752 – 1.22 – 2.9358  dengan tiap-tiap nombor telahpun dibulatkan. 

Penyelesaian Hasil kiraan menggunakan nombor yang diberi, 5.3162 Modulus ralat

Penyelesaian Hasilnya terletak antara 5.3162 – 0.01055 dan 5.3162 + 0.01055 5.30565 dan 5.32675 menjadi sama sekiranya 1TP  nilai anggaran terbaik adalah 5.3 (1TP)

Latihan Dengan seberapa jitu yang boleh, dapatkan nilai bagi: c) 0.0415 + 2.336 – 1.06679 – 0.24 d) 4.4507 + 2.01244 – 5.2303 di mana tiap-tiap nombor telahpun dibulatkan.

Jawapan (3.6178 dan 3,6190) = 3.62 (2TP) (13.272 dan 13.294) = 13.3 (1TP) (1.065155 dan 1.076265) = 1.1 (1TP) (1.232735 dan 1.232945) = 1.233 (3TP)

Latihan tambahan 1 Nilai sebenar: 0.0000012 nilai penghampiran:0.000009 Dapatkan ralat, ralat mutlak,ralat relatif

Latihan tambahan 2 Nilai sebenar: 1000000 nilai penghampiran:999996 Dapatkan ralat, ralat mutlak,ralat relatif Bandingkan LT 1 dan LT 2, nilai manakah yg lebih tepat?