MATRIKS Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran

Pengertian Matriks Susunan atau daftar dari suatu angka-angka yang mempunyai ikatan berdasar baris atau kolom yang mempunyai kegunaan tertentu Susunan baris : angka-angka diurutkan secara horizontal (ke arah kanan – kiri) Susunan kolom : angka-angka diurutkan secara vertikal (ke atas bawah) Ikatan : hubungan secara berturut-turut, misalkan karena matriks merupakan nilai parameter/variabel/angka dari suatu persamaan Kegunaan matriks : untuk menyerdehanakan, memudahkan ataupun mempercepat perhitungan suatu persamaan

Bentuk Matriks Suatu matriks B ditulis B = ( bij ) dimana i = menunjukkan baris ( i = 1,2,3 ) j = menunjukkan kolom ( j = 1,2,3,4 ) B = ( bij ) ini mempunyai arti bahwa matriks B adalah Matriks B tersebut mempunyai jumlah baris = 3 dan jumlah kolom = 4 dikatakan matriks B berdimensi 3 x 4 atau 3 by 4 atau sering juga ditulis B3x4.

Bentuk Matriks Analog, kalau ditulis Amxn, menunjukkan bahwa matriks A berdimensi/berorder mxn. Catatan : m menunjukkan nilai i tertinggi/terbesar n menunjukkan nilai j tertinggi/terbesar A3x3 sering juga dituliskan A3, demikian pula An maksudnya adalah Anxn, matriks demikian sering disebut matriks bujursangkar / square matrix.

Contoh/macam-macam Matriks Matriks Baris contoh ; A = ( 1 2 3 )  A1x3 A = ( 2 6 1 5 )  A1x4 Matriks Kolom contoh ; catatan ; - matriks satu baris merupakan vektor baris - matriks satu kolom merupakan vektor kolom

Contoh/macam-macam Matriks Matriks berorder/berdimensi banyak ; Amxn

Operasi Matriks Equality Matriks A dikatakan sama (equal) dengan matriks B apabila A dan B mempunyai kesamaan dalam : Dimensi atau order artinya bahwa apabila A berdimensi mxn, maka B juga berdimensi mxn. Nilai unsur yang berindeks sama harus sama atau nilai unsur yang berada pada nomor baris dan kolom yang sama (corresponding location) harus bernilai sama. Jadi a12 = b12 ; a23 = b23 ; …….. dst. Contoh;

Operasi Matriks Addition of matrix (penjumlahan dalam matriks) Matriks A dapat dijumlahkan dengan matriks B apabila memenuhi syarat : mempunyai dimensi yang sama. Contoh :

Operasi Matriks Catatan ; A2x2 + B2x2 = C2x2  dapat dioperasikan Amxn + Bmxn = Cmxn  dapat dioperasikan Amxn + Bmxm ≠  tidak dapat dioperasikan

Operasi Matriks Substraction of matrix (pengurangan dalam matriks) Syarat mempunyai dimensi yang sama Contoh :

Operasi Matriks Scalar multiplication and multiplication of matrix Multiplikasi atau perkalian dalam matriks akan dapat dilakukan apabila kedua matriks tersebut mempunyai kesamaan dalam jumlah kolom matriks yang dikalikan dengan jumlah baris matriks yang digunakan sebagai pengali atau jumlah kolom multiplicant sama dengan jumlah baris multiplier.

Operasi Matriks Perhatikan :

Operasi Matriks Contoh : Perkalian matriks dengan skalar atau skalar dengan matriks, suatu matriks berdimensi 1x1merupakan angka atau konstanta atau skalar. Perkalian demikian disebut perkalian skalar.

Operasi Matriks Catatan : A·B = B·A

Operasi Matriks Catatan : A·B ≠ B·A

Operasi Matriks Catatan : Dimensi hasil-kali (multiplication sum) merupakan jumlah baris matriks yang dikalikan (multiplicant) kali jumlah kolom matriks pengali (multiplier) A3x2 · B2x4 = C3x4 A4x3 · B3x6 = C4x6 A sebagai multiplicant/lead matrix B sebagai multiplier/lag matrix C sebagai multiplication sum/product matrix

Transpose Suatu Matriks Transpose suatu matriks A yakni AT atau A’ dapat ditentukan dengan merubah tiap baris matriks A menjadi kolom matriks A’ begitu juga sebaliknya tiap kolom matriks A menjadi baris matriks A’. Contoh :

Determinant Suatu Matriks Determinant suatu matriks dapat ditentukan dengan cara:

Determinant Suatu Matriks Determinant suatu matriks dapat ditentukan dengan lebih dahulu menentukan determinan matriks minor tiap elemen dan kofaktor. Menentukan minor elemen bij dan minor elemen akan mempunyai determinan.

Determinant Suatu Matriks Selanjutnya |M21|, |M23|, |M32| dapat ditentukan dengan cara: M21 ditentukan dengan menghapus peranan baris II dan kolom I M23 ditentukan dengan menghapus peranan baris II dan kolom III M32 ditentukan dengan menghapus peranan baris III dan kolom II Kofaktor, kij = (-1)i+j |Mij|

Determinant Suatu Matriks

Determinant Suatu Matriks Contoh :

Determinant Suatu Matriks Atau juga dapat dicari dengan rumus :

Determinant Suatu Matriks Cara yang paling mudah adalah, perhatikan ! Tanda (+) dan (-) menunjukkan (-1)i+j yang genap akan (+) dan sebaliknya bila bernilai ganjil akan (-).

Determinant Suatu Matriks Perhatikan Kolom I : Atau Perhatikan Kolom II : Seterusnya dapat dengan melihat masing-masing baris atau kolom.

Invers Suatu Matriks Invers matriks dapat dicari dengan : cara substitusi, cara adjoint, cara kaunter dan cara partisi matriks. Dibawah ini hanya akan dibicarakan cara adjoint. Suatu matriks A mempunyai inverse A-1. Dan K’ adalah transpose dari matriks kofaktor kij dari elemen aij , sehingga K’ = KT adalah

Invers Suatu Matriks Untuk matriks A3x3 misalnya, akan mempunyai matriks kofaktor K3x3. Contoh : Tahap I : mencari determinan A Tahap II : mencari adjoint A

Invers Suatu Matriks

Beberapa Jenis Matriks Null (zero) Matrix : matriks yang semua elemennya = 0. Identity Matrix : square matrix yang elemen diagonal pokoknya = 1, sedangkan elemen lainnya = 0 atau,

Beberapa Jenis Matriks Diagonal Matrix : square matrix yang setiap elemennya sama dengan 0; kecuali elemen pokoknya, minimum salah satu elemennya tidak sama dengan 0. Dengan demikian identity matrix termasuk diagonal matrix. Scalar Matrix : square matrix yang nilai setiap elemen diagonal sebesar k (k  bilangan skalar) dan elemen lainnya = 0.

Beberapa Jenis Matriks Symetric Matrix : square matrix dimana aij = aji. Scalar : square matrix yang hanya mempunyai satu baris dan satu kolom. Vector : matriks yang terdiri dari satu baris atau satu kolom. Matrix Diagonal : matriks yang bila dikalikan dengan transpose matriksnya menghasilkan identity matrix. Matrix Non-Singular : square matrix yang mempunyai inverse dan determinannya ≠ 0. Matrix Singular : square matrix yang tidak mempunyai invers dan determinannya = 0. Commute Matrix : bila AB = BA maka kedua matriks adalah commute.

Kegunaan Determinan Perhatikan persamaan berikut; 5x1 + 4x2 = 31 ……….X1 5x1 + 4x2 = 31 8x1 - 2x2 = 16 ……….X2 16x1 - 4x2 = 32 + 21x1 = 63  x1 = 3 5x1 + 4x2 = 31 5(3) + 4x2 = 31  4x2 = 31 – 15,  x2 = 4 Didapat nilai x1 = 3 dan x2 = 4 Persamaan diatas juga dapat diubah;

Kegunaan Determinan Secara sederhana dapat ditulis Ax = d, dimana ; Menurut kaidah Cramer : Dimana Ai adalah matriks A dengan kolom ke-i diganti dengan matriks d

Kegunaan Determinan Didapatkan nilai x1 = 3 dan x2 = 4; ternyata hasilnya sama dengan cara substitusi. Cara substitusi sulit dipecahkan apabila persamaan dan jumlah bilangan yang belum diketahui x banyak jumlahnya.