BAB 8 Turunan

Standar Kompetensi: Kompetensi Dasar: Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar: Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi. Menggunakan turunan untuk menentukan karekteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya.

8.1 PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI 1. Laju Perubahan Nilai Fungsi 2. Definisi Turunan Fungsi 3. Rumus Umum Turunan Fungsi

1. Laju Perubahan Nilai Fungsi a. Laju perubahan rata-rata Definisi: Misalkan diketahui fungsi y = f(x) . Laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) dalam interval x  x  x ditentukan oleh 2 1 ∆y ∆x x  x 2 1 f (x )  f (x ) = b. Laju perubahan sesaat Definisi: Misalkan diketahui fungsi y = f(x) yang terdeteksi untuk setiap nilai x di sekitar x = a. Laju perubahan sesaat nilai fungsi f(x) pada x = a ditentukan dengan catatan jika limit itu ada. f(a + h)  f(a) lim h h  0

2. Definisi Turunan Fungsi Misalkan diketahui fungsi y = f(x) terdeteksi untuk setiap nilai x di sekitar x = a. Jika lim ada maka bentuk limit lim dinamakan f(a + h)  f(a) h h  0 turunan dari fungsi f(x) pada x = a.

Catatan: Jika limit itu ada atau mempunyai nilai, dikatakan fungsi f(x) diferensiabel (dapat didiferensialkan) pada x = a. Bentuk limit itu selanjutnya dilambangkan dengan f (a). Jadi, Lambang f (a) (dibaca: f aksen a) disebut turunan atau derivatif dari fungsi f(x) terhadap x pada x = a. Misalkan fungsi f(x) mempunyai turunan f (x) . Jika f (a) tidak terdefinisi maka dikatakan f(x) tidak diferensiabel pada x = a. f(a + h)  f(a) h lim h  0 f (a) =

Contoh Carilah turunan fungsi f(x) = 3  2x pada x = 1 Jawab: Turunan f(x) = 3  2x pada x = 1 adalah f (1). f (1) = lim h  0 f(1 + h)  f(1) h = {3  2(1 + h)}  {3  2(1)}  2h  2 =  2 Jadi, turunan fungsi f (x) = 3  2x pada x = 1 adalah f (1) =  2

3. Rumus Umum Turunan Fungsi Definisi: Misalkan diketahui fungsi y = f(x) yang terdefinisi dalam daerah asal D = {x l x  R}. Turunan fungsi f(x) terhadap x ditentukan oleh dengan catatan jika nilai limit itu ada. f(x + h)  f(x) h lim h  0 f (x) = Catatan: 1. f (x) dibaca: f aksen x disebut fungsi turunan atau fungsi derivatif dari fungsi f(x) terhadap x dan f (a) dapat diperoleh dari f (x) dengan cara substitusi variabel x dengan nilai x. 2. Proses menemukan f (x) dari fungsi f(x) disebut operasi penurunan atau pendiferensialan fungsi f(x).

Bentuk lain notasi turunan dy dx df Turunan fungsi y = f(x) dilambangkan dengan atau , yang dikenal sebagai notasi Leibniz. Notasi Leibniz atau dapat diperoleh dari hubungan dy dx df f(x + h)  f(x) h lim h  0 f (x) = Misalkan nilai h pada hubungan di atas diganti dengan ∆x , maka f(x + ∆x)  f(x) ∆x lim ∆x  0 f (x) =

Perubahan pada variabel x sebesar ∆x mengakibatkan perubahan nilai fungsi f(x) sebesar ∆y = ∆f = f(x + ∆x)  f(x). Dengan demikian, hubungan tersebut dapat ditulis sebagai

Bentuk-bentuk lim dan lim masing-masing ditulis dengan lambang dan , sehingga ∆x ∆y ∆x  0 ∆f df dx dy = . f (x) = Jadi, untuk menyatakan turunan dari fungsi y = f(x) dapat digunakan satu di antara notasi-notasi berikut

8.2 RUMUS-RUMUS TURUNAN ALJABAR Turunan Fungsi Konstan Turunan Hasil Kali Fungsi-Fungsi Turunan Hasil Bagi Fungsi-Fungsi Turunan Fungsi Identitas Turunan Fungsi f(x) = {u(x)} Turunan ke-n suatu Fungsi Turunan Fungsi Pangkat Turunan Hasil Kali Konstanta dengan Fungsi Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi-Fungsi

1. Turunan Fungsi Konstan Jika f(x) = k dengan k konstanta real maka turunan f(x) adalah f (x) = 0. Contoh Turunan dari fungsi f(x) = 8 adalah f (x) = 0. 2. Turunan Fungsi Identitas Jika f(x) sebuah fungsi identitas atau f(x) = x maka f (x) = 1.

f (x) = anxn  1. f (x) = ku (x). 3. Turunan Fungsi Pangkat Jika f(x) = axn dengan a konstanta real tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka f (x) = anxn  1. Contoh f(x) = 3x9, maka f (x) = (3)(9)x 9  1 = 27x8 4. Turunan Hasil Kali Konstanta dengan Fungsi Jika f(x) = ku(x) dengan k konstanta real dan u(x) fungsi dari x yang mempunyai turunan u (x), maka f (x) = ku (x).

5. Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi-Fungsi Jika f(x) = u(x)  v(x), dengan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi yang mempunyai turunan u (x) dan v (x), maka f (x) = u (x)  v (x). Contoh f(x) = x4  2x3 + 6x2  x + 10 f (x) = (1)(4)x4  1  (2)(3)x3  1 + (6)(2) x2  1 = 4x3  6x2 + 12x  1 6. Turunan Hasil Kali Fungsi-Fungsi Jika f(x) = u(x)  v(x), dengan u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan u (x) dan v (x), maka f (x) = u (x)  v (x) + u (x)  v (x).

Contoh Turunan Hasil Kali Fungsi-Fungsi Carilah turunan dari fungsi f(x) = (x2  x)(x3 + 2). Jawab: f(x) = (x2  x)(x3 + 2), u(x) = x2  x , v(x) = x3 + 2 u(x) = x2  x, maka u (x) = 2x  1 v(x) = x3 + x, maka v (x) = 3x2 f (x) = u (x)  v(x) + u(x)  v (x) = (2x  1)(x3 + 2) + (x2  x)(3x2) = 2x4 + 4x  x3  2 + 3x4  3x3 = 5x4  4x3 + 4x  2. Rumus turunan hasil kali tiga fungsi Jika f(x) = u(x)  v(x)  w(x) dengan u(x) ,v(x) dan w(x) adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan u (x), v(x) dan w(x) maka f (x) = u (x)  v(x)  w(x) + u(x)  v (x)  w(x) + u(x)  v(x)  w (x).

7. Turunan Hasil Bagi Fungsi-Fungsi Contoh f(x) = x  2 x2 + 3 Jawab: u(x) = x  2, maka u (x) = 1 v(x) = x2 + 3, maka v (x) = 2x f (x) = u(x)  v(x)  u(x)  v(x) {v(x)}2 = (1)(x2 + 3)  (x  2)(2x) (x2 + 3)2 x2 + 4x + 3

8. Turunan Fungsi f (x) = {u(x)} Jika f(x) = {u(x)}, dengan u(x) adalah fungsi dari x yang mempunyai turunan u (x) dan n adalah bilangan real , maka f (x) = n{u( x)}n  1  u (x) Rumus di atas dikenal sebagi dalil rantai atau aturan rantai.

Contoh Turunan Fungsi f (x) = {u(x)} Dengan menggunakan antara rantai, diperoleh:

9. Turunan ke-n suatu Fungsi Notasi-notasi untuk turutan pertama, turunan kedua, turunan ketiga, sampai turunan ke- n dari fungsi y = f(x) disajikan dalam daftar pada tabel berikut.

8.3 RUMUS-RUMUS TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Turunan Fungsi Sinus Turunan Fungsi Cosinus Jika f(x) = sin x maka f (x) = cos x Jika f(x) = cos x maka f (x) = sin x Turunan Fungsi Tangen Jika f(x) = tan x maka f (x) = sec2 x Jika f(x) = cot x maka f (x) = cosec2 x Jika f(x) = sec x maka f (x) = sec x  tan x Jika f(x) = cosec x maka f (x) = cosec x  cot x Fungsi-Fungsi Cotangen, Secan. Dan Cosecan

8.4 TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI DENGAN ATURAN RANTAI 1. Teorema Turunan Fungsi Komposisi 2. Perluasan aturan rantai

1.Teorema Turunan Fungsi Komposisi Jika fungsi y = (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(u), dengan u = g(x) maka turunan fungsi komposisi (f ◦ g)(x) ditrntukan oleh dy dx du =  (f ◦ g)  (x) = f (g(x))  g (x) atau Rumus di atas dikenal sebagi dalil rantai atau aturan rantai. Contoh 2 3 2 3 y = 3 (x2 + 3x  1)2 = (x2 + 3x  1) = u , dengan u = x2 + 3x  1 dy du = 2 3 u  1 3 3 u  (x2 + 3x  1) 3 3 dx 2x + 3 y  = dy du dx  = (x2 + 3x  1) 3 3 2 (2x + 3) = 4x + 6

2. Perluasan aturan rantai Teorema: Misalkan y = f(u), u = g(v), dan v = h(x) membentuk fungsi komposisi y = (f ◦ g ◦ h)(x) = f(g(h(x))). Jika h mempunyai turutan terhadap x, g mempunyai turutan terhadap v ,dan f mempunyai turutan terhadap u, maka turutan (f ◦ g ◦ h)(x) terhadapx ditentukan oleh: (f ◦ g ◦ h)  (x) = f (g(h(x)))  g  (h(x)  h(x) atau dy dx du dv = 

8.5 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA 1. Gradien Garis Singgung pada Kurva 2. Persamaan Garis Singgung Kurva 3. Beberapa Konsep Tambahan

1. Gradien Garis Singgung pada Kurva Definisi: Misalkan fungsi y = f(x) mempunyai turunan pada x = a. Turunan fungsi f(x) pada x = a atau f  (a) ditafsirkan secara geometri sebagai gardien garis singgung kurva di tiitk (a, f(a)). Catatan: Turunan fungsi y = f(x) pada x = a , yaitu f  (a), yang ditafsirkan secara geometri sebagi gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik (a, f(a)). sering kali dituliskan dengan menggunakan notasi Leibniz sebagai . dy dx x = a

2. Persamaan Garis Singgung Kurva Jika titik P(a, f(a)) terletak pada kurva y = f(x) maka persamaan garis singgung kurva y = f(x) yang melalui titik P(a, f(a dirumuskan dengan persamaan berikut.

3. Beberapa Konsep Tambahan a. Dua Garis Sejajar dan Dua Garis Tegak Lurus m = m 1 2 m  m = 1 1 2

b. Garis Normal Garisn yang ditarik melalui titik P(a, f(a)) dan tegak lurus terhadap garis singgung kurva di titik itu disebut garis normal Persamaan garis normal di titik P(a, f(a)) pada kurva y = f(x) dapat ditentukan dengan rumus: y  f(a) =  (x  a) 1 m dengan m = f (a) atau m = dy dx x = a

8.6 FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN 1. Pengertian Fungsi Naik dan Fungsi Turun 2. Kondisi untuk Fungsi Naik dan Fungsi Turun

1. Pengertian Fungsi Naik dan Fungsi Turun Definisi: Misalkan fungsi f(x) terdefinisi dalam interval I. Fungsi f(x) dikatakan fungsi naik dalam interval I, jika untuk setiap bilangan x dan x dalam I dan x  x maka berlaku hubungan f(x )  f(x ), ditulis: Fungsi f(x) dikatakan turun dalam interval I, jika untuk setiap bilangan x dan x dalam I dan x  x maka berlaku hubungan f(x )  f(x ), ditulis: 1 2 x  x  f(x )  f(x ) 1 2 x  x  f(x )  f(x ) 1 2  Y X O a f(x) naik f(x) turun

2. Kondisi untuk Fungsi Naik dan Fungsi Turun  Y X Q O f (x)  0 f (x)  0 +  Teorema: Misalkan fungsi f dirumuskan oleh y = f(x) dalam interval I dan f(x) diferensiabel pada setiap x dalam interval itu. Jika f (x)  0 untuk x  I maka fungsi f(x) naik pada I. Jika f (x)  0 untuk x  I maka fungsi f(x) turun pada I. Jika f (x) = 0 untuk x  I maka fungsi f(x) stasioner pada I.

8.7 TITIK STASIONER SUATU FUNGSI DAN JENIS-JENIS EKSTRIM Pengertian NilaiStasioner dan Titik Stasioner 2. Jenis-jenis Ekstrim, Nilai Balik Maksimum, dan Nilai Balik Minimum 3. Maksimum dan Nilai Minimum suatu Fungsi dalam interval Tertutup

1. Pengertian Nilai Stasioner dan Titik Stasioner Teorema: Nilai Stasioner Jika fungsi y = f(x) dideferensiabel di x = a dengan f (a) = 0 maka f(a) adalah nilai stasioner dari fungsi f(x) di x = a .  Y X O y = f(x) titik satsioner (a,f(a)) f(a) nilai stasioner x = a Titik (a,f(a)), dengan f (a) = 0, yang terletak pada garfik fungsi y = f(x) disebut sebagai titik satsioner Titik stasioner termasuk dalam kelompok titik kritis, yaitu titik yang merupakan bakal calon titik ekstrim.

2. Jenis-jenis Ekstrim, Nilai Balik Maksimum, dan Nilai Balik Minimum a. Uji turunan pertama (1) Tiap nilai stasioner belum tentu nilai ekstrim, tetapi fungsi yang mencapai nilai ekstrim pada x = a dan diferensiabel di titik itu, maka dapat dapat dipastikan bahwa x = a adalah titik satsioner. (2) Jenis-jenis nilai stasioner, yaiyu nilai ekstrim (nilai balik maksimum atau nilai balik minimum) atau bukan nilai ekstrim, dapat ditentukan dengan cara mengamati tanda-tanda dari turutan pertama f(x) fungsi di sekitar x = a . Memeriksa jenis-jenis nilai stasioner dengan cara seperti itulah yang disebut Uji Turunan Pertama.

Teorema: Syarat Perlu Adanya Nilai Ekstrim Jika fungsi f (x) mencapai nilai ekstrim di x = a dan diferensiabel pada titik itu, maka titik x = a adalah stasioner. Uji urutan pertama untuk menetukan jenis ekstrim Misalkan f (x) merupakan fungsi yang diferensiabel pada x = a dan mencapai niali stasioner pada titik itu dengan nilai stasioner f (a).

Uji Turunan Pertama Untuk Menentukan Jenis Ekstrim Jika Jika f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) naik Jika f (x) = 0 untuk x = a  fungsi f(x) stasioner pada x = a Jika f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) turun maka f(x) mencapai nilai balik maksimum pada x = a. Nilai balik maksimum itu sam dengan f(a) . Perhatikan Gambar tampak bahwa f (x) berubah tanda dari positif menjadi negatif melalui nol. Jika Jika f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) turun Jika f (x) = 0 untuk x = a  fungsi f(x) stasioner pada x = a Jika f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) naik maka f(x) mencapai nilai balik minimum pada x = a. Nilai balik minimum itu sama dengan f(a). Perhatikan Gambar tampak bahwa f (x) berubah tanda dari negatif menjadi positif melalui nol.

Jika Jika f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) naik Jika f (x) = 0 untuk x = a  fungsi f(x) stasioner pada x = a Jika f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) turun atau Jika f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) turun maka f(a) bukan nilai ekstrim.

b. Uji turunan kedua Uji urutan kedua untuk menetukan jenis ekstrim Misalkan fungsi f(x) kontinu dalam interval I yang memuat x = a. Turunan pertama f (x) dan turunan kedua f (x) ada pada interval I serta f (a) = 0 (ini berarti f(a) adalah nilai stasioner). Jika f (a)  0 maka f(a) adalah nilai balik maksimum fungsi f . Jika f (a)  0 maka f(a) adalah nilai balik minimum fungsi f . Jika f (a) = 0, maka nilai stasioner f(a) belum dapat ditetapkan. Dalam kasus f (a) = 0 penentuan jenis-jenis nilai stasioner kembali menggunkan Uji Turunan Pertama.

3. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum suatu Fungsi dalaminterval Tertutup Definisi:

Nilai maksimum suatu fungsi dalam interval tertutup disebut sebagai nilai maksimum mutlak atau nilai maksimum global. Nilai minimum suatu fungsi dalam interval tertutup disebut nilai minimum mutlak atau nilai minimum global. Jika dalam interval tertutup nilai balik maksimum suatu fungsi bukan nilai maksimum fungsi itu maka nilai balik maksimum ini disebut nilai maksimum relatif atau nilai maksimum lokal. Jika dalam interval tertutup nilai balik minimum suatu fungsi bukan nilai minimum fungsi itu maka nilai balik minimum itu disebut nilai minimum relatif atau nilai minimum lokal.

Menentukan Nilai Maksimum dan Nilai Minimum suatu Fungsi dalam Interval Tertutup Teorema: Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi dalam Intrval Tertutup

Algoritma untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi f(x) dalam interval tertutupa  x  b adalah sebagai berikut. Langkah 1 Jika ada, tentukan nilai balik maksimum dan nilai balik minimum fungsi f(x) yang terletak dalm interval a  x  b. Langkah 2 Tentukan niali-nilai fungsi f(x) pada ujung-ujung interval, yaitu nilai f(a) dan nilai f(x). Langkah 3 Nilai-nilai yang diperoleh pada Langkah 1 dan Langkah 2 dibandingkan, kemudian ditetapkan sebagi berikut Catatan : Nilai terbesar yang dihasilkan adalah nilai maksimum fungsi f(x) dan nilai terkecil yang dihasilkan adalah nilai minimum fungsi f(x) dalam interval tertutup a  x  b.

Contoh Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x) = x2  4x dalam interval 2  x  0 Jawab: Turutan pertama dari f(x) = x2  4x adalah f (x) = 2x  4 Nilai stasioner f(x) diperoleh dari f (x) = 0 2x  4 = 0  x = 2 Nilai stasionernya adalah f(2) = (2)2  4(2) = 4

Langkah 1 Dalam interval 2  x  0 tidak ada nilai balik minimum, sebab nilai balik minimum terjadi pada x = 2. Langkah 2 Nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval f(2) = (2)2  4(2) = 12 f(0) = 02  4(0) = 0 Langkah 3 Berdasarkan hasil-hasil pada Langkah 1 dan Langkah 2, dapat ditetapkan: nilai fungsi f(x) terbesar sam dengan 12 nilai fungsi f(x) terkecil sam dengan 0 Jadi, fungsi f(x) = x2  4x dalam interval tertutup 2  x  0 mencapai nilai maksimum 12 dan nilai minimum 0.

8.8 KECEKUNGAN FUNGSI DAN TITIK BELOK FUNGSI

1. Kecekungan Fungsi Definisi: Misalkan fungsi f(x) kontinu dan diferensiabel dalam interval I . Jika f (x) naik dalam interval I maka grafik fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas dalam interval I. Jika f (x) naik dalam interval I maka grafik fungsi f(x) dikatakan cekung ke bawah dalam interval I. Teorema: Uji Turunan Kedua untuk Menetukan Kecekungan Fungsi Misalkan fungsi f(x) kontinu dan diferensiabel dua kali dalam interval I . Jika f (x)  0 dalam interval I maka grafik fungsi f(x) cekung ke atas. Jika f (x)  0 dalam interval I maka grafik fungsi f(x) cekung ke bawah.

2. Titik Belok Definisi: Jika pada titik (a,f(a)) terjadi perubahan kecekungan garfik fungsi y = f(x) (dari cekungan ke bawah menjadi cekungan ke atas atau sebaliknya) maka titik (a,f(a)) dinamakan titik belok fungsi y = f(x). Teorema: Syarat Perlu Bagi Titik Belok Jika f(x) diferensiabel dua kali pada x = a atau f (a) ada dan (a,f(a)) titik belok garfik fungsi y = f(x) maka f (a) = 0. Untuk memastikan bahwa (a,f(a)) adalah titik belok fungsi f(x) atau bukan, dapat dilakukan dengan cara mengamti tanda-tanda dari f (x) di sekitar x = a dengan menggunakan uji turunan kedua.

Misalkan f(x) adalah fungsi yang diferensiabel dua kali pada x = a dan f (a) = 0 Jika f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) cekung ke bawah f (x) = 0 untuk x = a f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) cekung ke atas atau f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) cekung ke atas f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) cekung ke bawah maka titik (a,f(a)) merupakan titik belok fungsi f(x). Dalam hal f (x) tidak memenuhi aturan seperti di atas, maka (a,f(a)) bukan titik belok fungsi f(x).

8.9 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI

Langkah 1 Tentukan koordinat-koordinat titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat. Tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi f(x) Dari turunan pertama f (x), dapat ditentukan: interval-interval di mana f(x) naik dan f(x) turun. titik ekstrim fungsi f(x) serta jenis-jenisnya. Dari turunan kedua f (x), dapat ditentukan: interval-interval di mana f(x) cekung ke atas dan f(x) cekung ke bawah. titik belok fungsi f(x). Jika fungsi f(x) didefinisikan dalam interval tertutup, tentukan nilai fungsi f(x) pada ujung-ujung interval. Jika diperlukan, tentukan beberapa titik tertentu untuk memperhalus sketsa kurva.

Langkah 2 Titik-titik yang diperoleh pada Langkah 1 digambarkan pada bidang Cartesius. Langkah 3 Selanjutnya titik-titik yang telah disajikan dalam bidang Cartesius pada Langkah 2 dihubungkan dengan mempertimbangkan naik atau turunnya fungsi dan kecekungan fungsi pada interval-interval yang telah ditentukan.

8.10 APLIKASI TURUNAN FUNGSI DALAM PEMECAHAN MASALAH 1. Menggunkan Turunan Fungsi dalam Perhitungan Bentuk Tak-Tentu Limit Fungsi 2. Menggunkan Turunan Fungsi dalam Menyelasikan Masalah yang Berkaitan dengan Nilai Ekstrem 3. Menggunakan Turunan Fungsi dalam Perhitungan Kecepatan dan Percepatan

Menggunakan Turunan Fungsi dalam PerhitunganKecepatan dan Percepatan a. Kecepatan

Hubungan tingkah laku s dengan v(t)

b. Pecepatan

Hubungkan tingkah laku V dengan a(t)

2. Menggunakan Turunan Fungsi dalam Perhitungan Bentuk Tak- Tentu Limit Fungsi a. Bentuk-Bentuk Tak Tentu dan  Definisi: Bentuk-Bentuk Tak Tentu (Ideterminate Forms) Catatan: Definisi di atas tetap berlaku apabila x   atau x  − 

b. Teorema LHÔpital

3. Menggunakan Turunan Fungsi dalam Menyelasikan Masalah yang Berkaitan dengan Nilai Ekstrim Langkah-langkah pemecahan masalah yang berkaitan dengan problem nilai ekstrim Tetapkan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf-huruf) untuk memperoleh hubungan atau ekspresi matematikanya. 2. Tetapkan rumus fungsi satu variabel yang meupakan model matematika dari masalah. Tentukan penyelesaian optimum (maksimum atau minimum) dari model matematika yang diperoleh pada Langkah 2. Berikanlah tafsiran terhadap hasil yang diperoleh pada Langkah 3 disesuaikan dengan masalah semula.

Contoh : Sebuah besi ton dengan panjang 10 cm dirancang berbentuk menyerupai huruf U dengan cara membengkokkan bagian ujung-ujungnya. Jika L menyatakan luas penampang dari bentuk rancangan itu (diperlihatkan daerah yang diwarna), tentukan luas penampang maksimum.

Jawab: Luas penampang bentuk rancangan (bagian yang diraster) L sebagi fungsi x ditentukan sebagai berikut L (x) = (10  2x)(x) = 10x  2x2 10 m x m (10 − 2x) x Sebelum dibengkokkan Setelah dibengkokkan