Matematika Teknik Arsitektur

PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilangan Real Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol. C : {bilangan cacah} = {0, 1, 2, 3,...} N : {bilangan asli} = {1, 2, 3, ...} Z : {bilangan bulat} = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ....} Q : {bilangan rasional} = { Qc : {bilangan tak-rasional} { , π, ...} R : {bilangan real} = Q U Qc

Sifat-sifat Medan : Hukum komutatif. x + y = y + x dan xy = yx Hukum asosiatif. x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z Hukum distribusi. x(y + z) = xy + xz Elemen-elemen identitas. Terdapat dua bilangan riil yang berlainan 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x.1 = x Balikan (Invers) setiap bilangan x mempunyai balikan aditif, (disebut juga sebuah negatif), -x, yang memenuhi x + (-x) = 0. juga, setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai balikan perkalian (disebut juga kebalikan) x-1, yang memenuhi x.x-1 = 1. Sifat-sifat Urutan : Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu di antara yang berikut berlaku: x < y atau x = y atau x > y Ketransitifan. x < y dan y < z  x < z Penambahan. x < y  x + z < y + z Perkalian. Bilangan z positif, x < y  xz < yz. Bilamana z negatif, x < y  xz > yz.

1.2 Aturan Preseden Dalam Menyederhanakan Persamaan Aritmetik Pada beberapa operasi yang terjadi pada persamaan aritmetika, urutan keharusan mutlak harus diikuti. Urutan prioritas adalah : 1. Kurung 2. Pangkat dan akar 3. Perkalian dan Pembagian 4. Penjumlahan dan pengurangan Catatan : Persamaan dalam kurung harus disederhanakan pertama Jika dua operasi yang presedennya sama pada posisi berurutan, urutan pertama dari kiri diselesaikan pertama. contoh : sederhanakan persamaan K = 2,76 x (8,45 + 3,14) + 3,452 – 4,89 : 2,18 Persamaan dalam kurung K = 2, 76 x 11,59 + 3,452 – 4,89 : 2,18 Selesaikan pangkat dan akar K = 2,76 x 11,59 + 11,9025 – 4,89 : 2,18 Perkalian dan pembagian K = 31,9884 + 11,9025 – 2,2431 Akhirnya penjumlahan dan penguranga K = 43,8908 – 2,2431 K = 41,6478

1.3 Transposisi Formula Contoh : Transposisi formula dengan I menjadi Subjek

Kalikan kedua ruas dengan (E-I.r) : n.(E-I.r) = I.R n.E = I.R + n.I.r n.E = I.(R + n.r) 1.4 Perkalian Persamaan Aljabar Dengan Variabel Tunggal Contoh : (2.x + 5).(x2 + 3.x + 4) Dikalikan 2.x Dikalikan 5 Dijumlahkan x2 + 3.x + 4 2.x + 5 x 2.x3 + 6.x2 + 8.x 5.x2 + 15.x + 20 + 2.x3 + 11.x2 + 23.x + 20 (2.x + 5).(x2 + 3.x + 4) = 2.x3 + 11.x2 + 23.x + 20

1.5 Pembagian Satu Persamaan Dengan Persamaan Lain Kita perhatikan (12.x3 – 2.x2 – 3.x + 28) : (3.x + 4) Susun sebagai pembagian panjang angka Untuk membuat 12.x3, 3.x harus dikalikan 4.x2, sehingga kita dapat menyisip ini sebagai bentuk pertama hasil bagi ; kalikan pembagi (3.x + 4) dengan 4.x2 dan kurangi ini dari dua bentuk pertama.

1.6 Faktorisasi Persamaan Aljabar 1. Faktor sekutu bentuk sederhana faktorisasi adalah ekstra faktor persekutuan dari persamaan. Contoh : (10.x + 8) dapat dengan jelas ditulis 2.(5.x + 4) Serupa dengan (35.x2.y2 – 10.x.y3) (35.x2.y2 – 10.x.y3) = 5.x.y2.(7.x – 2.y) (8.x4.y3 + 6.x3.y2) = 2.x3.y2.(4.x.y + 3) 2. Faktor persekutuan kelompok persamaan empat bentuk dapat seringkali difaktorisasi dengan pengelompokan kedua persamaan binomial dan masing-masing diekstrak faktor persekutuannya. Contoh : 2.a.c + 6.b.c + a.d + 3.b.d = (2.a.c + 6.b.c) + (a.d + 3.b.d) = 2.c.(a + 3.b) + d.(a + 3.b) = (a + 3.b).(2.c + d) x3 – 4.x2.y + x.y2 – 4.y3 = (x3 – 4.x2.y) + (x.y2 – 4.y3) = x2.(x – 4.y) + y2.(x – 4.y) = (x – 4.y).(x2 + y2)

12.x2 – y2 + 3.x – 4.x.y2 = 12.x2 + 3.x – y2 – 4.x.y2 = (12.x2 + 3.x) – (y2 + 4.x.y2) = 3.x.(4.x + 1) – y2.(1 + 4.x) = (4.x + 1).(3.x – y2) Perkalian Dua Faktor Linear Yang bermanfaat Harus diingat (a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + a.b + b.a + b2 = a2 + 2.a.b + b2 (a – b)2 = (a – b).(a – b) = a2 – a.b – b.a + b2 = a2 – 2.a.b + b2 (a – b).(a + b) = a2 + a.b – b.a – b2 = a2 – b2 Contoh : x2 + 10.x + 25 = (x)2 + 2.(x).(5) + (5)2, seperti a2 + 2.a.b + b2, = (x + 5)2 x2 + 10.x + 25 = (x + 5)2 2. 4.a2 – 12.a + 9 = (2.a)2 – 2.(2.a).(3) + (3)2, seperti a2 - 2.a.b + b2 = (2.a – 3)2 4.a2 – 12.a + 9 = (2.a – 3)2 3. 25.x2 – 16.y2 = (5.x)2 – (4.y)2 = (5.x – 4.y).(5.x + 4.y) 25.x2 – 16.y2 = (5.x – 4.y).(5.x + 4.y)

Latihan :