Dosen Pengampu : GUNAWAN.ST.,MT KALKULUS II Dosen Pengampu : GUNAWAN.ST.,MT

Materi Integral Tak Tentu Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Fungsi Transenden Turunan dan Integral Fungsi Invers dan Trigonometri Turunan dan Integral Fungsi Hiperbolik Teknik Integrasi Integrasi Hampiran Integral Tak Wajar Penggunaan Integral Tentu

Pustaka Judul : Thomas’ Calculus 12th Edition Penulis : George B.Thomas, Maurice D.Weir, Joel R.Hass 2. Judul : Kalkulus Penulis : H.M. Hasyim Baisuni 3. Judul : Calculus An Applied Approach 9th Edition Penulis : Ron Larson

Persentase penilaian UAS : 35% UTS : 30% Tugas : 25% Keaktifan : 10% Toleransi kedatangan : 20 menit

Integral Definisi : Yang dimaksud mengintegralkan suatu fungsi 𝑓(𝑥) adalah menentukan suatu fungsi 𝐹 𝑥 , sehingga 𝐹 ′ 𝑥 =𝑓 𝑥 . Integral : 1. Integral Tak Tentu (Indefinite Integral) 2. Integral Tentu (Definite Integral)

Integral Tak Tentu Definisi : Kumpulan dari semua antiturunan 𝑓 disebut integral tak tentu (indefinite integral) dari 𝑓 yang bergantung pada 𝑥, dan dinyatakan sebagai 𝑓 𝑥 𝑑𝑥. Keterangan : : simbol integral 𝑓 : integran 𝑥 : variabel integrasi

Integral Tak Tentu Bila diberikan suatu fungsi 𝑓(𝑥) dan suatu fungsi lain 𝑦=𝐹(𝑥) sedemikian sehingga dalam domain 𝑎<𝑥<𝑏, berlaku : 𝑑 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑓(𝑥) maka 𝐹(𝑥) dinamakan hasil integral dari 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥. Integral (tak tentu) = antiturunan = kebalikan dari diferensial Rumus definisi : 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=𝑓(𝑥)

Bentuk umum : Bila 𝑦=𝐹 𝑥 +𝐶 , 𝐶 = konstanta sembarang dan 𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑓(𝑥), maka 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑[𝐹 𝑥 +𝐶] 𝑑𝑥 = 𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑑𝐶 𝑑𝑥 = 𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥 +0=𝑓(𝑥) Jadi : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 +𝐶 = 𝐹 𝑥 +𝐶 Contoh : y=𝐹 𝑥 = 𝑥 3 +𝐶 Maka 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝐹 𝑥 𝑑𝑥 =3 𝑥 2 𝑓 𝑥 =3 𝑥 2 Jadi, 3 𝑥 2 𝑑𝑥= 𝑥 3 +𝐶

Contoh soal : 2𝑥 𝑑𝑥= cos 𝑥 𝑑𝑥= 2𝑥+ cos 𝑥 𝑑𝑥= 𝑥 2 −2𝑥+5 𝑑𝑥= 𝑥 7 +2=

Tabel bentuk antiturunan, dengan k suatu konstanta bukan nol Fungsi Antiturunan 1. 𝑥 𝑛 1 𝑛+1 𝑥 𝑛+1 +𝐶, 𝑛≠−1 2. sin 𝑘𝑥 − 1 𝑘 cos 𝑘𝑥+𝐶 3. cos 𝑘𝑥 1 𝑘 sin 𝑘𝑥+𝐶 4. 𝑠𝑒𝑐 2 𝑘𝑥 1 𝑘 tan 𝑘𝑥+𝐶 5. 𝑐𝑠𝑐 2 𝑘𝑥 − 1 𝑘 cot 𝑘𝑥+𝐶 6. sec 𝑘𝑥 tan 𝑘𝑥 1 𝑘 sec 𝑘𝑥+𝐶 7. csc 𝑘𝑥 cot 𝑘𝑥 − 1 𝑘 csc 𝑘𝑥+𝐶

Aturan kelinearan antiturunan Fungsi Antiturunan 1. Aturan pada Perkalian Konstanta : 𝑘 𝑓(𝑥) 𝑘 𝐹 𝑥 +𝐶, 𝑘=𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 2. Aturan pada bentuk Negatif : −𝑓(𝑥) −𝐹 𝑥 +𝐶 3. Aturan pada Penjumlahan atau Pengurangan : 𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥) 𝐹 𝑥 ±𝐺 𝑥 +𝐶 Sifat Kelinearan :

Metode Substitusi Teorema (Aturan Substitusi) : Jika 𝑢=𝑔(𝑥) adalah fungsi diferensiabel (dapat diturunkan) pada interval 𝐼, dan 𝑓 kontinu di 𝐼, maka 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥= 𝑓 𝑢 𝑑𝑢. Langkah-langkah : Subtitusikan 𝑢=𝑔(𝑥) dan 𝑑𝑢= 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥 untuk memperoleh integral dari 𝑓 𝑢 𝑑𝑢. Integralkan terhadap 𝑢. Gantikan 𝑢 dengan 𝑔(𝑥) pada hasil akhir.

Contoh Soal : Hitung sin 2𝑥+1 𝑑𝑥 Jawab : Misal u=2𝑥+1  𝑑𝑢 𝑑𝑥 =2  𝑑𝑢=2𝑑𝑥  𝑑𝑥= 1 2 𝑑𝑢 Jadi, sin 2𝑥+1 𝑑𝑥 = sin 𝑢 . 1 2 𝑑𝑢= 1 2 sin 𝑢 𝑑𝑢 =− 1 2 cos 𝑢+𝐶=− 1 2 cos 2𝑥+1 +𝐶 5 𝑠𝑒𝑐 2 (5𝑥+1) 𝑑𝑥=… cos 7𝑥+3 𝑑𝑥=…

Tugas ! Hitung : a. (𝑥+1) 𝑑𝑥 b. 2 𝑥 3 −5𝑥+7 𝑑𝑥 c. 1 𝑥 2 − 𝑥 2 − 1 3 𝑑𝑥 d. 𝑥 2 + 2 𝑥 𝑑𝑥 e. 4+ 𝑥 𝑥 3 𝑑𝑥 f. 3−2𝑠 𝑑𝑠 g. 1 5𝑠+4 𝑑𝑠 h. 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥+2 𝑑𝑥 i. 1 5 − 2 𝑥 3 +2𝑥 𝑑𝑥 j. 𝑥 (𝑥−4) 3 𝑑𝑥