TEOREMA 2.2.7 Jika a, b ∈𝑅 𝑑𝑎𝑛 a < b, maka 𝑎< 1 2 𝑎+𝑏 <𝑏 Bukti: Karena a < b, maka dengan teorema: jika a > b, maka a + c > b + c Sehingga diperoleh : 2a = a + a < a + b dan a + b < b + b = 2b Jadi 2a < a + b < 2b Dengan teorema: 1 > 0, diperoleh : 2 > 0,dan 1 2 > 0 sehingga dapat disimpulkan:

a = 1 2 (2a) < 1 2 (a + b) < 1 2 (2b) = b Jadi a < 1 2 (a + b) < b Berdasarkan teorema tersebut, maka dapat diambil kesimpulan bahwa diantara dua bilangan real yang berbeda terdapat tak berhingga bilangan real.

TEOREMA 2.2.8 Teorema ini sebagai akibat dari teorema 2.2.7, yaitu: Jika b ∈𝑅 dan b > 0, maka 0< 1 2 𝑏 <𝑏 Bukti: Subtitusikan a = 0 pada teorema : 𝑎< 1 2 𝑎+𝑏 <𝑏 Maka diperoleh 0< 1 2 𝑏 <𝑏

TEOREMA 2.2.9 Jika 𝑎∈𝑅 dan 0≤𝑎<𝜀, ∀𝜀>0 maka 𝑎=0 Bukti: Andaikan a > 0, maka dari teorema 0< 1 2 𝑎< a. Jika dipilih 𝜀 0 = 1 2 𝑎, maka 0 < 𝜀 0 < a. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa 0≤𝑎<𝜀, ∀𝜀>0 . Jadi haruslah a = 0.

Teorema 2.2.10 Jika 𝑎, 𝑏 ∈𝑅 dan 𝑎−𝜖<𝑏, ∀𝜀>0 maka 𝑎≤𝑏 Bukti: Andaikan b < a. Misalkan 𝜀 0 = 1 2 (a – b), maka 𝜀 0 > 0. Sehingga diperoleh b < a - 𝜀 0 . Hal ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa 𝑎−𝜖<𝑏. Jadi haruslah 𝑎≤𝑏

Teorema 2.2.11 Jika ab > 0, maka dipenuhi salah satu: (a) a > 0 dan b > 0 (b) a < 0 dan b < 0 Bukti: Karena ab > 0, maka 𝑎≠0 dan b ≠0 . Berdasarkan sifat Trichotomy, maka a > 0 atau a < 0. Jika a > 0, maka berdasarkan teorema 1 𝑎 > 0, sehingga: b = 1b = ( 1 𝑎 )a.b= ( 1 𝑎 ) ab >0 Dengan cara yang sama, jika a < 0, maka 1 𝑎 <0 sehingga b = ( 1 𝑎 ) ab <0.

Akibat 2.2.12 Jika ab < 0, maka dipenuhi salah satu: (a) a < 0 dan b > 0 (b) a > 0 dan b < 0 Bukti: Karena ab < 0, maka 𝑎≠0 dan b ≠0 . Berdasarkan sifat Trichotomy, maka a > 0 atau a < 0. Jika a < 0, maka berdasarkan teorema 1 𝑎 < 0, sehingga: b = 1b = ( 1 𝑎 )a.b= ( 1 𝑎 ) ab >0, maka ab < 0 jadi b > 0 Dengan cara yang sama, jika a > 0, maka 1 𝑎 >0 sehingga b = ( 1 𝑎 ) ab <0.

CONTOH : Buktikan bahwa 0 < a < b, maka 𝑎𝑏 < 1 2 (𝑎+𝑏) BUKTI: Diketahui bahwa 0 < a < b ( 𝑎 − 𝑏 ) 2 ≥0 𝑎−2 𝑎 𝑏 +𝑏≥0 𝑎+𝑏≥2 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 ≤ 1 2 (𝑎+𝑏)

KERJAKAN ! Buktikan bahwa ( 1 2 𝑎+𝑏 ) 2 ≤ 1 2 𝑎 2 + 𝑏 2 ,∀𝑎,𝑏∈𝑅 ! BUKTI: (𝑎+𝑏) 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 +2𝑎𝑏 𝑎 2 + 𝑏 2 +2𝑎𝑏≤ 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑎 2 + 𝑏 2 (𝑎+𝑏) 2 ≤ 2 ( 𝑎 2 + 𝑏 2 ) 1 4 (𝑎+𝑏) 2 ≤ 2 4 ( 𝑎 2 + 𝑏 2 ) ( 1 2 𝑎+𝑏 ) 2 ≤ 1 2 𝑎 2 + 𝑏 2