SIFAT KELENGKAPAN dan ARCHIMIDES OLEH: RINA AGUSTINA, M. Pd. PERTEMUAN KE-7 SIFAT KELENGKAPAN dan ARCHIMIDES OLEH: RINA AGUSTINA, M. Pd.

DEFINISI Misalkan S himpunan bagian dari 𝑅. Bilangan 𝑢 ∈𝑅 dikatakan batas atas dari himpunan S jika berlaku 𝑠≤𝑢 untuk setiap 𝑠∈𝑆. Bilangan 𝑣∈𝑅 dikatakan batas bawah dari himpunan S jika berlaku v≤𝑠 untuk setiap 𝑠∈𝑆.

DEFINISI Misalkan S himpunan bagian dari 𝑅. Jika S terbatas di atas, maka batas atas u adalah supremum (batas atas terkecil) dari S jika tidak ada bilangan yang lebih kecil dari u yang merupakan batas atas dari S. Jika S terbatas di bawah, maka batas bawah v adalah infimum (batas bawah terbesar) dari S jika tidak ada bilangan yang lebih besar dari v yang merupakan batas bawah dari S.

TEOREMA 1 Bilangan u adalah supremum dari himpunan tak kosong 𝑆⊂𝑅 , jika dan hanya jika memenuhi : 𝑠≤𝑢 untuk setiap 𝑠∈𝑆. Jika 𝑣<𝑢 , maka terdapat 𝑠′∈𝑆 sehingga 𝑣<𝑠′. Bukti : Dari definisi u merupakan batas atas dari himpunan S jika : 𝑠≤𝑢 untuk setiap 𝑠∈𝑆

Diketahui u merupakan supremum (batas atas terkecil) dari himpunan S , maka dari definisi batas atas berlaku 𝑠≤𝑢 untuk setiap 𝑠∈𝑆 u adalah supremum dari himpunan S berarti tak ada bilangan yang lebih kecil u yang merupakan batas atas dari S. 𝑣<𝑢, berarti 𝑣∈𝑆 karena u adalah sup S. 𝑣∈𝑆, berarti terdapat s′∈𝑆 sehingga 𝑣<𝑠′. Jadi , jika 𝑣<𝑢 maka terdapat s′∈𝑆 sehingga 𝑣<𝑠′.

TEOREMA 2: Batas atas u dari himpunan tak kosong 𝑆∈𝑅, merupakan supremum dari S jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀>0 terdapat 𝑠 𝜀 ∈𝑆 sehingga 𝑢−𝜀< 𝑠 𝜀 . Batas bawah l dari himpunan tak kosong 𝑆∈𝑅, merupakan infimum dari S jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀>0 terdapat 𝑠 𝜀 ∈𝑆 sehingga l+𝜀> 𝑠 𝜀 .

Bukti : Misalkan u adalah batas atas dari S yang memenuhi kondisi di atas. Jika 𝑣<𝑢 dan kita ambil 𝜀=𝑢−𝑣, untuk setiap 𝜀>0 terdapat 𝑠 𝜀 ∈𝑆 sehingga 𝑣=𝑢−𝜀< 𝑠 𝜀 . Jadi v bukan batas atas dari S. Karena v sebarang bilangan yang lebih kecil dari u , maka 𝑢= sup 𝑆 . Sebaliknya, misalnya 𝑢= sup 𝑆 dan 𝜀>0. Karena 𝑢−𝜀<𝑢 , maka 𝑢−𝜀 bukan batas atas dari S . Akibatnya beberapa 𝑠 𝜀 ∈𝑆 haruslah lebih besar daripada 𝑢−𝜀 , yaitu 𝑢−𝜀< 𝑠 𝜀 .

Misalkan l adalah batas bawah dari S yang memenuhi kondisi di atas Misalkan l adalah batas bawah dari S yang memenuhi kondisi di atas. Jika 𝑙<𝑣 dan kita ambil 𝜀=𝑣−𝑙, untuk setiap 𝜀>0 terdapat 𝑠 𝜀 ∈𝑆 sehingga 𝑠 𝜀 <𝑣=𝜀+𝑙 . Jadi v bukan batas bawah dari S. Karena v sebarang bilangan yang lebih besar dari l , maka 𝑙= 𝑖𝑛𝑓 𝑆 . Sebaliknya, misalnya 𝑙= 𝑖𝑛𝑓 𝑆 dan 𝜀>0. Karena 𝑙<𝑙+𝜀 , maka 𝑙+𝜀 bukan batas bawah dari S . Akibatnya beberapa 𝑠 𝜀 ∈𝑆 haruslah lebih kecil daripada 𝑙+𝜀, yaitu 𝑠 𝜀 <𝑙+𝜀.

TEOREMA 3: (Sifat supremum dari R) Setiap himpunan tak kosong di dalam R yang mempunyai batas atas pasti mempunyai supremum di dalam R. Bukti : Misalkan S himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas di bawah. Himpunan 𝑆 ′ = −𝑠;𝑠∈𝑆 terbatas di atas, dan dari sifat supremum diperoleh bahwa 𝑢= sup 𝑆′ ada. Akibatnya −𝑢= inf 𝑆 .

TEOREMA 4: (Sifat infimum dari R) Setiap himpunan tak kosong di dalam R yang mempunyai batas bawah pasti mempunyai infimum di dalam R. Bukti : Sifat analog dari infimum juga dapat dideduksi dari sifat supremum di atas.

TEOREMA 5: (Sifat Archimides) Jika 𝑥∈𝑅, maka ∃ 𝑛 𝑥 ∈𝑁 ∋ x ≤ 𝑛 𝑥 Bukti : Andaikan x ≤ 𝑛 𝑥 tidak benar, yaitu ∀ 𝑛 𝑥 ∈𝑁 ∋ x > 𝑛 𝑥 . Oleh karena itu, x adalah batas atas dari N sehingga dengan sifat supremum maka himpunan tak kosong N mempunyai supremum u didalam R.

karena u – 1 < u, maka dengan teorema: batas atas u dari himpunan tak kosong 𝑆∈𝑅, merupakan supremum dari S jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀>0 terdapat 𝑠 𝜀 ∈𝑆 sehingga 𝑢−𝜀< 𝑠 𝜀 . maka terdapat m∈ N sehingga u – 1 < m. Tetapi akibatnya u < m + 1. Karena m + 1 ∈ N , maka kontradiksi dengan asumsi bahwa u adalah adalah batas atas dari N.

SOAL: 1. Jika 𝑎>0 dan 𝑎𝑆= 𝑎𝑠 ;𝑠∈𝑆 Buktikan bahwa : (a) inf 𝑎𝑆=𝑎∙ inf 𝑆 (b) sup 𝑎𝑆=𝑎∙ sup 𝑆 Jawab : Akan dibuktikan bahwa : inf 𝑎𝑆=𝑎∙ inf 𝑆 i) Misalkan 𝑢= inf 𝑆 , maka 𝑢≤𝑠 , ∀𝑠 ∈𝑆 𝑎>0⇒𝑎∙𝑢≤𝑎∙𝑠, ∀𝑎𝑠∈𝑆 Sehingga au batas bawah dari aS , akibatnya : 𝑎𝑢≤ inf 𝑎𝑆

ii) Misalkan v = inf 𝑎𝑆 , maka v≤𝑎𝑠 , ∀𝑎𝑠 ∈𝑆 𝑎>0⇒ 1 𝑎 ∙𝑣≤𝑠, ∀𝑠∈𝑆 Sehingga 1 𝑎 ∙𝑣 batas bawah dari S , akibatnya : 1 𝑎 ∙𝑣≤ inf 𝑆 𝑎>0⇒𝑣≤𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑆 𝑖𝑛𝑓𝑎𝑆≤𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑆 Dari i dan ii, maka terbukti bahwa inf 𝑎𝑆=𝑎∙ inf 𝑆

KERJAKAN ! b) Akan dibuktikan bahwa sup 𝑎𝑆=𝑎∙ sup 𝑆 BUKTI i) Misalkan u = sup 𝑆 , maka s≤𝑢 , ∀𝑠 ∈𝑆 𝑎>0⇒𝑎𝑠≤𝑎𝑢, ∀𝑠∈𝑆 Sehingga 𝑎𝑢 batas atas dari aS , akibatnya : sup 𝑎𝑆 ≤𝑎𝑢 sup 𝑎𝑆 ≤𝑎 sup 𝑆

ii) Misalkan v = sup 𝑎𝑆 , maka as≤𝑣 , ∀𝑠 ∈𝑆 𝑎>0⇒𝑠≤ 1 𝑎 ∙𝑣, ∀𝑠∈𝑆 Sehingga 1 𝑎 ∙𝑣 batas atas dari S , akibatnya : sup 𝑆 ≤ 1 𝑎 ∙𝑣 𝑎>0⇒𝑎 𝑠𝑢𝑝 𝑆≤𝑣 𝑎 𝑠𝑢𝑝 𝑆≤ sup 𝑎𝑆 Dari i dan ii terbukti bahwa sup 𝑎𝑆=𝑎∙ sup 𝑆

2. Misalkan S = { 1 𝑛 ; n ∈ N}. Buktikan bahwa: inf S = 0 ! BUKTI: 0 < 1 dan n > 0, ∀ 𝑛∈ N Sehingga 0 < 1 𝑛 , ∀ 𝑛∈ N maka 0 merupakan batas bawah S, akibatnya: 0 ≤ inf 𝑆 ……………… 1 Selanjutnya akan dibuktikan: 0 ≤ inf 𝑆 Andaikan inf 𝑆 > 0, berdasarkan akibat dari sifat archimides: ∃𝑛∈𝑁∋0< 1 𝑛 < inf S, dengan 1 𝑛 ∈𝑆

Berarti inf S bukan batas bawah dari S Berarti inf S bukan batas bawah dari S. Hal ini kontradiksi dengan defini infimum. Jadi haruslah: 0 ≤ inf 𝑆 Sehingga terbukti bahwa: inf S = 0