Pertemuan 9&10 Matematika Ekonomi II Diferensial Oleh: Moraida hasanah, M.si

Turunan Aljabar Materi: Pengertian Turunan Fungsi Aljabar Rumus Turunan Fungsi Aljabar Turunan Berantai Fungsi Aljabar Turunan Tingkat Tinggi Fungsi Aljabar Turunan Implisit Turunan multivariabel

Turunan Aljabar Tujuan Perkuliahan: Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan konsep turunan, rumus-rumus, dan menghitung turunan fungsi aljabar.

Pengertian Turunan Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi di bila fungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut. Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi pada suatu selang bila fungsi itu dapat didiferensiasi di setiap titik pada selang tersebut. Aplikasi: mencari kecepatan sesaat (fisika), laju pertumbuhan organisme (biologi), keuntungan marjinal (ekonomi), dll

Konsep Limit mengingat konsep limit karena konsep turunan dijelaskan lewat limit suatu fungsi Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah: Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞ Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikan di c. Pencarian turunan disebut diferensiasi

Secara Grafis pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut: Misal P(a,f(a)) adalah sembarang titik pada sebuah grafik suatu fungsi f. Titik lain pada gambar dinotasikan dengan Q(a+h,f(a+h)),dimana h adalah beda antara absis Q dan P. Kemiringan tali busur yang melalui titik P dan Q adalah mPQ

Secara Grafis

Secara Grafis Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang memuat a, maka kemiringan garis singgung m dari grafik fungsi f pada titik P(a,f(a)) adalah: Dengan catatan limitnya ada.

Contoh Diketahui fungsi f(x) = x2 dapatkan kemiringan garis singgung ke grafik f(x) pada titik P(a,a2) Penyelesaian: Dengan menggunakan penjelasan di atas maka Jadi turunan suatu fungsi adalah kemiringan garis singgung fungsi tersebut pada titik tertentu.

Contoh 1. Jika f(x) = 13x – 6, Carilah f’(4) Penyelesaian:

Contoh 2. Jika f(x)= x3 + 7x, Carilah f’(c) Penyelesaian

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i) Teorema I (Aturan Fungsi Konstanta) Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta untuk sembarang x, f’(x)= 0. Bukti: Contoh: f(x) = 2 maka f’(x) = 0

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i) Teorema II (Aturan Fungsi Identitas) Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1 Bukti:

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii) Teorema III (Aturan Pangkat) Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif, maka f’(x) = nxn-1 Bukti:

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii) Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali suku pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi Contoh: f(x)=x2 maka f’(x) = 2x

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii) Teorema IV (Aturan Kelipatan Konstanta) Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka (kf)’ (x). Bukti: Misalkan F(x) = k. f(x). Maka Contoh: F(x) =5x2 maka f’(x) =5(2x) =10x

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii) Teorema V (Aturan Jumlah) Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f+g)’(x) = f’ (x) + g’ (x). Bukti: Contoh: F(x)=x2+3x maka f’(x)=2x+3

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iv) Teorema VI (Aturan Selisih) Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f-g)’(x) = f’ (x) - g’ (x). Bukti: (f-g)’(x) = (f+(-1)g)’ (x) = f’(x) – g’(x) Contoh: F(x) =3x2-x maka f’(x) = 6x – 1

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v) Teorema VII (Aturan Hasil Kali) Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f.g)’(x) = f(x).g’(x)+f’(x).g(x). Bukti:

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v) Contoh : F(x) = (x+2)(x-5)2

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi) Teorema VIII (Aturan Hasil Bagi) Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, dengan g(x) = 0. Maka

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)

Bedakan antara Turunan dan Diferensial ! Pada waktu anda menuliskan Dxy atau dy/dx = anda menuliskan lambang turunan Jika dy = anda menyatakan lambang diferensial Contoh: Cari dy jika y = x3 - 3x+1 Jika kita mengetahui bagaimana menghitung turunan, maka kita tahu bagaimana menghitung diferensial. Yaitu cukup menghitung turunan lalu mengalikannya dengan dx Dy = (3x2-3) dx Hal ini karena dy = f’ (x) dx

Turunan Berantai Fungsi Aljabar Contoh: y = (3x+1)10

Turunan Tingkat Tinggi Aljabar Turunan tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang tidak hanya sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan sampai turunan ke n. Jika f’ adalah turunan suatu fungsi f, maka f’ juga merupakan suatu fungsi, f’ adalah turunan pertama dari f. Jika turunan dari f’ ada, turunan ini dinamakan turunan kedua dan ditulis f’’. Dengan cara yang sama turunan ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama dari f’’, jika turunan ini ada. Turunan ketiga, ditulis f’’’. Turunan ke-n dari fungsi f, di mana n bilangan positif yang lebih besar dari 1, adalah turunan pertama dari turunan ke (n-1) dari f. Turunan ke n dinyatakan dengan f(n). Berikut ini adalah tabel cara penulisan turunan sampai dengan turunan ke-n:

Turunan Tingkat Tinggi Aljabar Contoh: Carilah turunan ke-3 dari fungsi berikut ini:

Soal-soal latihan (i) Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:

Soal-soal latihan (ii) Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah ini:

Soal-soal latihan (iii) Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:

Hakekat Derivatif dan Diferensial dy/dx  terdiri dari 2 suku, dy dinamakan diferensial y, dx merupakan diferensial dari x. Diferensial dari x : dx = ∆x Diferensial dari y : dy=(dy/dx) ∆x Variabel terikat

dy/dx  lereng taksiran (approximated slope) dari kurva y = f(x) pada kedudukan x tertentu. ∆y/∆x  lereng yang sesungguhnya (the true slope) Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over estimated), atau lebih kecil (under estimated), atau sama dengan lereng sesungguhnya (teragantung pada jenis fungsinya dan besar kecilnya perubahan pada variabel bebas)

Fungsi y = f(x) yang linier, lereng taksiran = lereng sesungguhnya, berapapun ∆x  dy/dx = ∆y/ ∆x Perubahan x = ∆x Perubahan y = ∆y Diferensial x = dx Diferensial y = dy Kuosien diferensi = ∆y/ ∆x Derivatif = dy/dx R ∆y = dy P Q ∆x = dx dy/dx = ∆y/ ∆x

Fungsi y = f(x) yang non-linier QR=∆y P QR=dy Q QS=dx P QS=∆x Q ∆x = dx ∆x = dx x x (b) (a) dy > ∆y Over-estimated dy < ∆y Under-estimated

Derivatif dari derifatif Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari 1 kali (tergantung derajatnya). Turunan pertama (turunan dari fungsi awal), turunan kedua (turunan dari fungsi pertama, dst.

Hubungan antara fungsi dan Derivatifnya Dengan mengetahui hub. antara fungsi dan derivatifnya  besarnya turunan pertama dan turunan kedua  akan bisa dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut Kita akan mengetahui kurva menaik atau menurun, titik ekstrim dan juga titik beloknya.

Perhatikan pengurangan derajat fungsi pada masing-masing turunannya

Fungsi Menaik dan Menurun Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu. Lereng nol y = f(x) Lereng negatif fungsi menurun f’(a) > 0, y = f(x) menaik f’(a) < 0, y = f(x)menurun Lereng positif fungsi menaik Lereng nol

Uji Tanda Apabila turunan pertama f’(x) = 0, berarti y = f(x) berada di titik ekstrim Untuk menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum ataukah minimum, maka perlu dilakukan uji tanda terhadap f’(a) = 0. Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’(x) < 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum. Jika f’(x) < 0 untuk x < a dan f’(x) > 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.

Titik ekstrim fungsi parabolik Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya. Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan. Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan secara grafik. y = f(x) = x2 - 8x + 12 ………….fungsi parabolik y’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …….fungsi linear y” = f”(x) = d2y/dx2 = 2 ……….konstanta Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai titik ekstrim – dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4) y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4. x = 4  dimasukkan ke dalam persamaan Parabola  didapat nilai y = -4

y y = x2 – 8x + 12 12 y’= 2x - 8 y” = 2 2 x 2 4 6 -4 (4,-4) -8

Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0 Jika y” < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum. Jika y” > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik minimum.

Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik Titik maksimum atau minimum fungsi kubik, serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut. Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut : y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 ………….fungsi kubik y’ = x2 – 6x + 8 ……………………fungsi kuadratik y” = 2x – 6 ………………………..fungsi linear

Jika y’ = 0, x2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0  x1 = 2, x2 = 4 Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan kubik  maka y = 3.67 (2, 3.67)  titik ekstrim maksimum Untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif) Untuk x2 = 4 dimasukkan pada persamaan kubik  maka y = 2.33 (4, 2.33)  titik ekstrim minimum Untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif) Jika y” = 0  2x – 6 = 0  x = 3, nilai x = 3 dimasukkan dalam persamaan kubik  didapatkannilai y = 3  titik belok (3,3)

y’ = x2 – 6x + 8 y’’= 2x – 6 y = 1/3x3 – 3x2 + 8x + 3 y” = 2 y 8 (2,3.67) y = 1/3x3 – 3x2 + 8x + 3 3.67 (3,3) (4,2.33) y” = 2 2 x 2 4 3 (3,-1) -2 -4 -6

Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0 Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y” = 0

Relationship between marginal-cost and average-cost functions TC = C(Q) total cost MC = C'(Q) marginal cost AC = C(Q)/Q average cost C MC AC Q

Penerapan lain : Elastisitas  dengan rumus umum :