Bab 4 Turunan

Tujuan PEMBELAJARAN Mahasiswa memahami konsep turunan dan sifat- sifatnya Dua masalah satu tema (garis singgung dan kecepatan sesaat) Turunan sepihak Aturan pencarian turunan Turunan trigonometri Aturan rantai Turunan tingkat tinggi Turunan implisit Aplikasi turunan pada garis singgung dan garis normal

Konsep Turunan Turunan di satu titik Pendahuluan (dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : Q f(x) f(x)-f(c) Jika x  c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di titik P dgn kemiringan P f(c) x-c c x

b. Kecepatan Sesaat Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h). Perubahan waktu Perubahan posisi s f(c) f(c+h) c c+h

Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c : Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan Definisi: Turunan pertama fungsi f di titik x = c, dinotasikan , didefinisikan sebagai bila limit ada.

Notasi lain : Contoh: Diketahui Tentukan

Dengan cara lain

Turunan Sepihak bila limit ini ada. Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai : Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai : bila limit ini ada. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan (diferensiabel) di c atau jika Jika sebaliknya, f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.

Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x = 1. Jika ya, tentukan Contoh : Diketahui Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x = 1. Jika ya, tentukan Jawab : a. b. Jadi, f diferensiabel di x = 1

Teorema : Jika f diferensiabel di c f kontinu di c. Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah Perhatikan bahwa Maka Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. = f(c). Terbukti.

Akan ditunjukkan f(x)=|x| kontinu di x = 0 Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = |x| kontinu di x = 0 tetapi f(x) tidak diferensiabel di x = 0 Jawab Akan ditunjukkan f(x)=|x| kontinu di x = 0  f(0) = 0   Jadi, f kontinu di x = 0

Akan diselidiki apakah f terdiferensialkan di x = 0 Karena maka f tidak diferensiabel di 0.

Contoh : Cari nilai a dan b sehingga f(x) mempunyai turunan di x = 1. Jawab : f(x) mempunyai turunan di x = 1 jika a. f kontinu di x = 1 (syarat perlu) f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan f kontinu kanan di x = 1, atau

b. Turunan kiri = turunan kanan di c (syarat cukup) Maka a = 2 dan b = 1

Soal Latihan 1. Apakah fungsi diferensiabel di x = 1? 2. Apakah fungsi diferensiabel di setiap bilangan real x ? 3. Apakah fungsi diferensiabel di x = 2? 4. Apakah fungsi diferensiabel di setiap bilangan real x ? 5. Cari nilai a dan b sehingga mempunyai turunan di x = 3