Pendugaan Parameter Statistika Matematika II Semester Genap 2011/2012 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Pendugaan Parameter Parameter: sifat atau ciri populasi yang tidak diketahui nilainya. Sampel berukuran n yang berasal dari populasi dengan sebaran tertentu Statistik: Fungsi dari nilai pengamatan di dalam sampel tersebut, yang akan digunakan untuk menduga nilai Parameter 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Pendugaan Parameter Bagaimana menduga parameter sehingga diperoleh penduga dengan sifat-sifat yang baik? Ragam kecil: Akurat Nilai yang tidak jauh berbeda dari satu sampel ke sampel yang lain Tak Bias: Tepat Mendekati nilai nilai yang sebenarnya 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Metode Pendugaan Parameter Metode Moment Metode Maksimum Likelihood Keduanya bertujuan membentuk statistik: fungsi dari pengamatan dalam sampel Keduanya bertujuan untuk membentuk penduga dengan sifat-sifat yang baik 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Metode Moment Memanfaatkan definisi moment ke k dari peubah acak Y Moment ke k dari peubah acak Y Sampel berukuran n yang berasal dari populasi dengan sebaran yang ingin diduga nilai parameternya Definisi moment ke-k dari sampel adalah: 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Langkah-langkah pendugaan dengan metode moment Memperoleh moment orde terendah yang mungkin, nyatakan moment tsb dalam parameter-parameter yang akan diduga: moment fungsi dari parameter Mencari inverse dari persamaan di langkah 1, sehingga diperoleh persamaan: parameter fungsi dari moment Menggunakan moment sampel pada semua moment yang digunakan di langkah 2 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh 1, Sebaran Poisson: Langkah 1 Moment pertama dari sebaran Poisson: Moment fungsi dari λ Langkah 2 Inverse dari fungsi di langkah 1 Langkah 3 Gunakan moment sampel untuk pendugaan 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh 2, Sebaran Normal: Sebaran normal mempunyai dua parameter Dibutuhkan moment pertama dan moment kedua dari sebaran normal Langkah 1 Dari definisi ragam Moment fungsi dari parameter: 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Langkah 2 Inverse dari fungsi di langkah 1: parameter fungsi dari moment Gunakan moment sampel untuk pendugaan Langkah 3 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Data set I Data set II 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood) Penentuan nilai duga parameter sedemikian: Pada nilai duga tersebut data pengamatan paling mungkin terjadi Digunakan fungsi likelihood Fungsi kepekatan gabungan dari seluruh nilai teramati peubah Y dalam sampel Fungsi kepekatan gabungan adalah fungsi dari peuban Y Untuk seluruh nilai teramati dalam sampel, fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter. 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Fungsi Likelihood Sampel acak berukuran n yang berasal dari populasi yang menyebar dengan fungsi kepekatan peluang berikut ini: Jika diperoleh: Fungsi likelihood: 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc X f(x|5, 1) f(x|3, 1) 5 0.241970725 0.053991 5.5 0.129517596 0.017528 6 0.053990967 0.004432 3 0.398942 6.5 0.0175283 0.000873 4 0.39894228 0.241971 4.5 0.352065327 0.129518 3.5 0.352065 Likelihood 4.63613E-09 3.86E-15   ln f(x|5,1) ln f(x|3,1) -1.41894 -2.91894 -2.04394 -4.04394 -5.41894 -0.91894 -7.04394 -1.04394 ln likelihood -19.1894 -33.1894 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Penduga Kemungkinan Maksimum θ yang mana yang membuat nilai teramati tsb paling mungkin terjadi? Untuk seluruh nilai teramati dalam sampel, fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter. θ yang mana memaksimumkan fungsi likelihood? Penduga kemungkinan maksimum: θ yang memaksimumkan fungsi likelihood 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh 3, Sebaran Poisson Secara bebas dan sama, iid Fungsi likelihood: Fungsi likelihood: 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Digunakan ln fungsi likelihood untuk me-linierkan fungsi likelihood: λ yang memaksimumkan fungsi adalah solusi dari turunan pertama fs tsb thd λ yang disamadengankan nol: 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh 4, Sebaran Eksponensial Fungsi likelihood: Digunakan ln fungsi likelihood untuk me-linierkan fungsi likelihood: 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc θ yang memaksimumkan fungsi adalah solusi dari turunan pertama fs tsb thd θ yang disamadengankan nol: Penduga kemungkinan maksimum bagi θ 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc