BARISAN & DERET GEOMETRI Oleh : Subianto, SE.,M.Si

BARISAN GEOMETRI “ Seandainya kamu mempunyai satu lembar kertas ” “ Kemudian, kamu melipat kertas tersebut, satu kali ” Berapa banyak bagian (kotak) yang terbentuk pada kertas itu? 2 “ Jika, kamu melipat kertas tersebut, dua kali ” Berapa banyak bagian (kotak) yang terbentuk pada kertas itu? “ Jika, kamu melipat kertas tersebut, tiga kali ” Berapa banyak bagian (kotak) yang terbentuk pada kertas itu? “ Jika, kamu melipat kertas tersebut, empat kali ” Berapa banyak bagian (kotak) yang terbentuk pada kertas itu? “ Jika, kamu melipat kertas tersebut, n kali ” Berapa banyak bagian (kotak) yang terbentuk???

BARISAN GEOMETRI Dari kegiatan melipat kertas yang telah dilakukan, diperoleh Suatu barisan bilangan, sebagai berikut : dst Barisan bilangan tersebut merupakan salah satu contoh dari BARISAN GEOMETRI Masih ingatkah kalian dengan pola bilangan ?? Bagaimanakah pola bilangan dari barisan bilangan tersebut ???

BARISAN GEOMETRI Coba perhatikan barisan bilangan berikut !!! Suku ke-1  U 1 = 1 = 2 0 Suku ke-2  U 2 = 2 = 2 1 Kesimpulan apa yang kalian peroleh ??? Suku ke-2  U 2 = 2 = 2 1 Suku ke-3  U 3 = 4 = 2 2

BARISAN GEOMETRI SYARAT BARISAN GEOMETRI Nilai konstan disebut dengan pembanding atau rasio Suatu barisan bilangan dengan suku-suku U 1, U 2, U 3, …, U n disebut suatu barisan geometri apabila memenuhi syarat bahwa:

BARISAN GEOMETRI PENGERTIAN BARISAN GEOMETRI Berdasarkan syarat/ciri barisan geometri, yang telah dikemukakan di awal, maka : Bagaimanakah pengertian dari barisan geometri ??? Dapatkah kalian menjelaskan pengertian dari barisan geometri dengan kata-kata kalian sendiri ???? BARISAN GEOMETRI adalah suatu barisan dengan rasio (pembanding/pengali) antara dua suku yang berurutan selalu tetap Coba bandingkan ciri barisan geometri dengan barisan aritmatika yang telah kalian pelajari !!

BARISAN GEOMETRI MACAM BARISAN GEOMETRI Barisan Geometri Naik (Divergen) Ciri : U n-1 < U n untuk semua nilai n anggota bilangan asli dan n ≥ 2 Barisan Geometri Turun (Konvergen) Ciri : |U n | < |U n-1 | untuk semua nilai n anggota bilangan asli

BARISAN GEOMETRI Perhatikan Barisan Geometri berikut !!! U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U (2) 0 Diketahui : U 1 =a=1 dan r= a(r) 0 Kesimpulan apa yang kalian peroleh ??? 1(2) 1 1(2) 2 1(2) 3 1(2) 4 1(2) 5 a(r) 1 a(r) 2 a(r) 3 a(r) 4 a(r) 5

BARISAN GEOMETRI BENTUK UMUM BARISAN GEOMETRI Keterangan : a = suku pertama r = rasio a, ar, ar 2, ar 3, ar 4, …, U n Suatu barisan geometri dengan suku-suku U 1, U 2, U 3, U 4, U 5, …, U n Dapat dituliskan dalam bentuk umum:

BARISAN GEOMETRI RUMUS SUKU ke-n BARISAN GEOMETRI Kesimpulan apa yang kalian peroleh ??? Suku ke-1 = a=ar o Suku ke-2 = ar Suku ke-3 = ar 2 Suku ke-4 = ar 3 Suku ke-n = U n ar (1-1) ar (2-1) ar (3-1) ar (4-1) ar (n-1) Suatu barisan geometri dengan bentuk umum a, ar, ar 2, ar 3, ar 4, …, U n

BARISAN GEOMETRI RUMUS SUKU ke-n BARISAN GEOMETRI U n = ar n-1 Keterangan:a = suku pertama r = rasio n = banyak suku dengan Suatu barisan geometri dengan bentuk umum a, ar, ar 2, ar 3, ar 4, …, U n maka Rumus Suku ke-n Barisan Geometri adalah:

BARISAN GEOMETRI CONTOH SOAL 1 Diketahui barisan geometri : 3, 9, 27, 81, ……. Tentukan : a)Suku pertama b)Rasio c)Rumus suku ke-n d)Suku ke-10

BARISAN GEOMETRI SOLUSI CONTOH SOAL 1 Diketahui barisan geometri : 3, 9, 27, 81, ……. Jawab :a) Suku pertama = U 1 = 3 b) Rasio = c) Rumus suku ke-n = d) Suku ke-10 = ar n-1 = 3(3) n-1 = 3 n 3 10 = =3 1+(n-1)

BARISAN GEOMETRI CONTOH SOAL 2 Pada barisan geometri diketahui suku ke-3 = -8 dan suku ke-5 = -32 Tentukan suku ke-7 dari barisan tersebut! PENYELESAIANNYA ???

BARISAN GEOMETRI SOLUSI CONTOH SOAL 2 Diketahui : U 3 = -8 U 5 = -32ar 4 = -32 ar 2 = -8 maka : r 2 = 4r = 2 Karena ar 2 = -8a(2) 2 = -8 a = -2 Sehingga:U 7 = ar (7-1) = ar 6 = (-2)(2) 6 U 7 = -128

BARISAN GEOMETRI 1.Diketahui barisan geometri : 24, 12, 6, 3 …. Tentukan rasio dan suku keenam barisan itu ! 2.Suku ke-2 barisan geometri adalah 9, suku ke-5 adalah 1/3, tentukan suku ke-8 barisan tersebut ! 3.Tiga buah bilangan (2k-1), (k+4), (3k+6) membentuk barisan geometri naik yang ketiga sukunya positif, tentukan rumus suku ke-n !

DERET GEOMETRI PENGERTIAN DERET GEOMETRI DERET GEOMETRI adalah penjumlahan dari masing-masing suku dari suatu barisan geometri Deret Geometri dituliskan : U 1 + U 2 + U 3 + … + U n atau a + ar + ar 2 + … + ar n-1

DERET GEOMETRI RUMUS DERET GEOMETRI Jika U 1, U 2, U 3, …., U n merupakan barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r. maka jumlah n suku barisan geometri dinyatakan dengan rumus: Untuk r ≠ 1 dan r > 1 Untuk r ≠ 1 dan r < 1

DERET GEOMETRI PEMBUKTIAN RUMUS DERET GEOMETRI S n = U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + … + U n = a + ar + ar 2 + ar 3 + …+ ar n-1 ……………………… (1) Dari persamaan (1) semua suku dikalikan dengan r r.S n = r (U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + … + U n ) = r (a + ar + ar 2 + ar 3 + …+ ar n-1 ) = ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + …+ ar n ………………… (2) LANJUT

DERET GEOMETRI PEMBUKTIAN RUMUS DERET GEOMETRI Dari (1) dan (2) diperoleh: Sn = a + ar + ar 2 + ar 3 + …+ ar n-1 r.S n = ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + …+ ar n - S n – r.S n = a + (-ar n ) (1-r) S n = a - ar n

DERET GEOMETRI CONTOH SOAL 3 Hitunglah jumlah 6 suku pertama deret geometri: …. SOLUSI U 1 = a = 2 S 6 = 728

DERET GEOMETRI CONTOH SOAL 4 Hitunglah jumlah deret geometri: … PENYELESAIANNYA ??? Ayo kita kerjakan bersama-sama !!!

DERET GEOMETRI DERET GEOMETRI KONVERGEN Deret geometri a + ar + ar 2 + … + ar n-1 disebut deret geometri turun tak terhingga (konvergen), jika |r| < 1 atau -1 < r < 1 Jumlah deret geometri tak terhingga dirumuskan : Dengan :a = suku pertama r = rasio

DERET GEOMETRI CONTOH SOAL 5 Tentukan nilai dari deret geometri : … SOLUSI Dari DG: …. a = U 1 = 24

DERET GEOMETRI LATIHAN SOAL 1.Hitunglah jumlah deret geometri … Hitunglah jumlah tak terhingga deret geometri …. 3.Diketahui deret geometri …. + 2 n =510. Tentukan nilai n ! 4.Diketahui deret geometri dengan U 2 = 6 dan U 4 =54. Hitung jumlah delapan suku pertamanya !

RANGKUMAN MATERI Bentuk Umum Barisan Geometri adalah: a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n-1 dimana : a = suku pertama r = rasio = U n /U n-1 Rumus suku ke-n Barisan Geometri adalah : U n = ar n-1

RANGKUMAN MATERI Rumus jumlah n suku Deret Geometri adalah : Untuk r ≠ 1 dan r > 1 Untuk r ≠ 1 dan r < 1 Rumus jumlah Deret Geometri Tak Hingga adalah :

MATERI BARISAN DAN DERET GEOMETRI TELAH SELESAI. SEKIAN DAN TERIMA KASIH