KALKULUS II TEKNIK INTEGRASI Dosen Pengampu : GUNAWAN.ST.,MT

1. Integrasi Parsial Formula Integral Parsial : Tips : pilih 𝑢 yang turunannya lebih sederhana Contoh : Hitung Misal 𝑢 = 𝑥, maka 𝑑𝑢=𝑑𝑥 sehingga

Integral parsial dapat dilakukan lebih dari satu kali Contoh : Hitung Jawab Integral parsial (i) Misal 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑣=−𝑐𝑜𝑠𝑥 (ii) Misal 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑖𝑛𝑥

Ada kemungkinan integran (𝑓(𝑥)) muncul lagi diruas kanan Contoh : Hitung Integral parsial Jawab : (i) Misal 𝑑𝑣=𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑣=𝑠𝑖𝑛𝑥 (ii) Misal Integral yang dicari, bawa keruas kiri 𝑑𝑣 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑣=−𝑐𝑜𝑠𝑥

Soal latihan Hitung 1. 2. 3. 𝑥 𝑒 −𝑥 dx 4. 𝑥 2 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 5. 𝑡 𝑒 4𝑡 𝑑𝑡 6.

Rumus-rumus reduksi untuk sinus dan cosinus Misal n adalah bilangan bulat positif, dan 𝑛≥2, maka dengan menggunakan integrasi parsial diperoleh : 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝑥 𝑑𝑥=− 1 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛−1 𝑥 cos 𝑥 + 𝑛−1 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛−2 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥= 1 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛−1 𝑥 sin 𝑥 + 𝑛−1 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛−2 𝑥 𝑑𝑥 Cek kebenaran rumus tsb! Tuliskan 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥= 𝑐𝑜𝑠 𝑛−1 𝑥∙ cos 𝑥

Contoh soal! 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 𝑑𝑥 =… Jawab : 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 𝑑𝑥 = 1 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 sin 𝑥 + 2 3 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 1 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 sin 𝑥 + 2 3 sin 𝑥 +𝐶 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 𝑑𝑥 =… 𝑠𝑖𝑛 3 𝑥 𝑑𝑥 =…

2. Integral Fungsi Trigonometri Metode menyelesaikan integral bentuk : 𝑠𝑖𝑛 𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 dengan 𝑚 dan 𝑛 bilangan bulat tak negatif. Integral dengan bentuk 𝑠𝑖𝑛 𝑚 𝑥 𝑑𝑥 dan 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus reduksi.

2. Integral Fungsi Trigonometri Terdapat metode alternatif lebih sederhana, yang memerlukan identitas trigonometri berikut : 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥= 1 2 (1− cos 2𝑥 ) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥= 1 2 (1+ cos 2𝑥 ) yang diperoleh dari rumus ganda cos 2𝑥 =1−2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 dan cos 2𝑥 =2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥−1

2. Integral Fungsi Trigonometri Contoh : 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑑𝑥= 1 2 (1− cos 2𝑥 ) 𝑑𝑥= 1 2 𝑥− 1 4 sin 2𝑥 +𝐶 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥= 1 2 (1+ cos 2𝑥 ) 𝑑𝑥= 1 2 𝑥+ 1 4 sin 2𝑥 +𝐶

2. Integral Fungsi Trigonometri Untuk 𝑚 dan 𝑛 bilangan bulat positif, maka integral 𝑠𝑖𝑛 𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 dapat diselesaikan dengan salah satu dari prosedur berikut : * Untuk 𝑚 ganjil, 𝑚=2𝑘+1, 𝑘≥0. Tuliskan : dan gunakan identitas terkait * Untuk 𝑛 ganjil, 𝑛=2𝑙+1, 𝑙≥0 .Tuliskan : dan gunakan identitas

2. Integral Fungsi Trigonometri * Untuk 𝑚 genap, 𝑚=2𝑘, 𝑘≥0. Gunakan identitas terkait Untuk 𝑛 genap, 𝑛=2𝑘, 𝑘≥0.

Contoh 1 dengan menggunakan identitas terkait, diperoleh : Hitung Jawab : 𝑚=4 →𝑚 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥 𝑑𝑥= 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 2 𝑑𝑥= 1 2 (1− cos 2𝑥 ) 2 = 1 4 1− 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 𝑑𝑥 dengan menggunakan identitas terkait, diperoleh : 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥= 1 2 1+ cos 4𝑥 = 1 2 + 1 2 cos 4𝑥 Jadi penyelesaiannya, 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥 𝑑𝑥= 1 4 3 2 −2 cos 2𝑥 + 1 2 cos 4𝑥 𝑑𝑥= 3 8 𝑥− 1 4 sin 2𝑥 + 1 32 sin 4𝑥 +𝐶

Contoh 2 Hitung Jawab :

Pengintegralan Perpangkatan Sinus dan Cosinus Bentuk Untuk 𝑛 atau 𝑚 ganjil, keluarkan sin⁡𝑥 atau cos⁡𝑥 dan gunakan identitas Untuk 𝑚 atau 𝑛 genap, tuliskan menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan identitas .

Contoh :

Bentuk Gunakan identitas Serta turunan tangen dan kotangen Contoh : a. The hell

b.

Soal Latihan Hitung : 1. 2. 3. 4. 5.

Tugas (lihat papan tulis)