DETERMINAN 1.Pengertian Determinan 2.Perhitungan Determinan Matriks Bujur Sangkar 3.Sifat-sifat Determinan 4.Menghitung Determinan Menggunakan Sifat-Sifat Determinan 5.Aplikasi Determinan pada Geometri 6.Latihan Soal 1

1. Pengertian Determinan  Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan nilai elemen-elemennya, menurut rumus tertentu.  simbol det(A) atau |A|.  Jika nilai det(A)=0, maka matriks bujur sangkar tersebut singular, artinya tidak memiliki invers,  Jika nilai det(A) 0, maka berarti matriks A tersebut nonsingular, yaitu matriks tersebut punya invers. 2

2. PERHITUNGAN DETERMINAN MATRIKS BUJUR SANGKAR A. DETERMINAN MATRIKS ORDO 2X2 det(A) = 3

B. DETERMINAN MATRIKS ORDO 3x3 metode Sarrus 1.Salin kembali kolom ke 1 dan ke 2 kemudian ditempatkan disebelah kanan tanda determinan. 4

2.Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama, dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama. Nyatakan jumlah hasil kali dengan (+). 4/25/2019 m 5

3.Hitunglah jumlah hasil kali jumlah elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder. Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan A(-). 4/25/2019 m 6

4/25/2019 m 7

C. Minor dan Kofaktor Jika A ij : matriks A dengan elemen-elemen baris ke-i dan elemen-elemen kolom ke-j dibuang. maka: minor A ij = det (A ij ) dan kofaktor A ij = det (Aij). D. Determinan Matriks Ordo n x n teorema Laplace. Determinan matriks Ordo n x n dihitung menggunakan teorema Laplace. 4/25/2019 m 8

Contoh Minor dan Kofaktor Andaikan A berdimensi n, determinan dari submatriks yg berdimensi (n-1) disebut minor. M rs : minor dari submatriks dng menghilangkan baris ke r kolom ke s. Andaikan A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 M 11 = a 22 a 23 a 32 a 33 = a 22 a 33 – a 23 a 32 M 32 = a 11 a 13 a 21 a 23 = a 11 a 23 – a 13 a 21 Untuk matriks A berdimensi 3 tersebut ada berapa minor ? Matriks tersebut mempunyai 9 minor 4/25/2019 m 9

Kofaktor Kofaktor yang berhubungan dengan minor M rs adalah C rs = (-1) r+s M rs. A = C 11 = (-1) 1+1 M 11 = (-1) 2 = 1 (7) = 7 C 12 = (-1) 1+2 M 12 = (-1) 3 = (-1) (9) = -9 C 13 = (-1) 4 M 13 = M 13 = = 5 C 21 = (-1) 3 M 21 = - M 21 = - = 0 C 22 = M 22 = 0 C 23 = - M 23 = 0 C 31 = M 31 = 7 C 32 = - M 32 = - 9 C 33 = M 33 = 5 4/25/2019 m 10

Teorema Laplace: det (A) = jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-faktornya., dengan i sembarang disebut ekspansi baris ke j, dengan j sembarang disebut ekspansi kolom ke-j. dan Kof(A ij ) adalah kofaktor dari A ij 4/25/2019 m 11

Contoh menghitung determinan dengan teorema laplace dengan ekspansi kolom ke 1 12 m 4/25/2019

Contoh menghitung determinan dengan teorema laplace dengan ekspansi baris ke 1 13 m 4/25/2019

3. Sifat-sifat Determinan 4/25/2019 m 14

4. Menghitung Determinan menggunakan Sifat-Sifat Determinan 1. Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama; |A T | = |A| |A| = = 26 |A T | = = 26 Akibatnya : semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom. 2. Matriks persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, determinannya nol (0). det(B) == 0 det(C) == 0 4/25/2019 m 15

3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k  A  |A| = |A| = 5 Jika baris kedua dikalikan dengan 7 = 35 = 7 |A| Akibat sifat ini := 7 = 7 (5) = 35 Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai faktor yang sama, maka sudah dapat difaktorkan. = 3 = 4 4/25/2019 m 16

4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatif determinan semula. = 31 Baris pertama ditukar baris kedua = – Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama adalah sama dengan 0 (nol). = 0 4/25/2019 m 17

6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya) merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol). |B| = Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, |B| = 0 7. Determinan dari matriks persegi A = (a ij ) berdimensi n yang baris ke -i (kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku yang kedua. = + = + 4/25/2019 m 18

8. Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain. = 11 Jika k2 + 3k1= 11 Jika b1 – b2 = 11 Sifat ke 8 ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom), sebelum menghitung nilai determinan 9. Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-elemen diagonalnya. = (3)(-1)(5) = - 15 = (-3)(-2)(4)(1) = 24 4/25/2019 m 19

Gunakan sifat determinan untuk menghitung : b2 + 3b1 b3 – 2 b1 b3 + 3 b2 = (1)(-1)(3) = - 3 Petunjuk umum : Gunakan sifat ke 8, untuk mereduksi matriks menjadi matriks segitiga; kemudian gunakan sifat ke 9 4/25/2019 m 20

Submatriks / matriks bagian : Matriks yang diperoleh dengan menghilangkan beberapa baris dan/atau beberapa kolom dari suatu matriks A = Menghilangkan baris pertama diperoleh submatriiks : Menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga diperoleh submatriks : dan sebagainya. 4/25/2019 m 21

5. APLIKASI DETERMINAN PADA GEOMETRI Persamaan Garis Lurus yang Melewati Dua Titik 22

23

Persamaan Bidang Datar yang Melewati Tiga Titik 24