INTEGRAL RANGKAP INTEGRAL GANDA

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS )
Advertisements

Mathematics III TS 4353 Class B
Multipel Integral Integral Lipat Dua
Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius, Koordinat Polar, Koordinat Tabung, Koordinat Bola Desember 2011.
Aplikasi Integral Lipat Dua
INTEGRAL RANGKAP INTEGRAL GANDA
7. APLIKASI INTEGRAL MA1114 KALKULUS I.
Bab 1 INTEGRAL.
Selamat Datang & Selamat Memahami
Integral Tertentu   Misalkan f(x) kontinu pada interval a ≤ x ≤ b . Ambil (n-1) titik pada interval tersebut maka interval a ≤ x ≤ b terbagi menjan n sub.
Integral Lipat-Tiga.
Integral Lipat Tiga Andaikan R suatu daerah macam I di bidang xy dan F1 dan F2 fungsi dua peubah yang kontinu pada daerah R dengan F1(x,y) ≤ F2(x,y). Misalkan.
INTEGRAL LIPAT TIGA TIM KALKULUS II.
INTEGRAL PERMUKAAN.
“ Integral ” Media Pembelajaran Matematika Berbasis
Bab V INTEGRAL TERTENTU
KALKULUS II By DIEN NOVITA.
. Penerapan Integral lipat Tiga pada :
Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola
DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA
Integral Lipat Tiga.
5.5. Integral Tentu Jumlah Riemann
Integral Lipat-Dua Dalam Koordinat Kutub
TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT
Integral Lipat Tiga Andaikan R suatu daerah macam I di bidang xy dan F1 dan F2 fungsi dua peubah yang kontinu pada daerah R dengan F1(x,y) ≤ F2(x,y). Misalkan.
INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA
Integral Lipat Dua.
Terapan Integral Lipat Dua
Pertemuan 4 Momen Inersia
Terapan Integral Lipat Dua
INTEGRAL RANGKAP DUA Yulvi Zaika.
Integral Lipat Dua dalam Koordinat Kutub
INTEGRAL PERMUKAAN.
M ATHEMATICS III TS 4353 C LASS B Integral Rangkap Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian University.
TURUNAN PARSIAL.
MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014.
PENERAPAN INTEGRAL Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat.
BAB I INTEGRAL LIPAT DAN TERAPANNYA.
7.2.2 Metoda Cincin a. Daerah diputar terhadap sumbu x Daerah D
Penerapan Integral Tertentu
INTEGRAL GARIS SKALAR DAN INTEGRAL PERMUKAAN
Integral garis suatu lintasan
Hand Out Fisika II MEDAN LISTRIK
APLIKASI INTEGRAL TENTU.
INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA
Integral Lipat Dua   PERTEMUAN TGL b R n
PENUGASAN Hitung x, jika: x = 3log 27 – 5log 25 2log 4x – 2log 4 = 2
Aplikasi Integral Lipat dua dan Lipat Tiga Pertemuan 10, 11, & 12
PENERAPAN INTEGRAL LIPAT DUA PELAKSANA MATA KULIAH UMUM (PAMU)
KALKULUS II By DIEN NOVITA.
INTEGRAL LIPAT Integral Berulang
Matakuliah : R0262/Matematika Tahun : September 2005 Versi : 1/1
BAB 2 INTEGRAL LIPAT.
INTEGRAL PERMUKAAN.
Integral dalam Ruang Dimensi-n
Terapan Integral Lipat Dua
Integral Lipat Dua
Integral.
Integral Lipat Dua dalam Koordinat Kutub
Penerapan Integral Lipat dua pada Luas daerah
15 Kalkulus Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi. FASILKOM
Peta Konsep. Peta Konsep D. Merumuskan dan Menghitung Luas Suatu Daerah.
Peta Konsep. Peta Konsep D. Merumuskan dan Menghitung Luas Suatu Daerah.
PENGGUNAAN DIFERENSIAL
Tim Pengampu MK Kalkulus II Tel-U
7. APLIKASI INTEGRAL.
Pertemuan 13 Bab 7 – Penggunaan Integral 1
Analisis Penampang Pertemuan – 12, 13, 14, 15
Integral lipat.
INTEGRAL (Integral Tertentu)
Transcript presentasi:

INTEGRAL RANGKAP INTEGRAL GANDA Integral untuk fungsi satu variable, kita membentuk suatu partisi dari interval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk , k = 1, 2, 3, ….n Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral untuk fungsi dua variable. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 …… An

Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk ) dan bentuklah jumlah : Jika jumlah sub daerah makin besar (n→∞), maka integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas daerah R didefinisikan :

Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk : dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variabel y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y.

  b. dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x. Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil yang sama.

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI PANJANG Bentuk umum : dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } a,b,c dan d adalah konstanta d R c a b

Contoh : 1. 2. 3. 4.

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN PERSEGI PANJANG dimana : R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }

dimana : R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d }

Contoh 1

APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA Aplikasi integral lipat dua yang bentuk umumnya : dapat dijelaskan sbb : 1. LUAS Luas bidang dapat dipandang sebagai integral lipat dua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral lipat dua menjadi :

Dalam koordinat polar : contoh : 1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = 0, x + y = 2 dan 2y = x + 4 2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola-parabola : y2 = 4 – x dan y2 = 4 – 4x 3. Hitung : dengan R adalah daerah dikuadran pertama yang berada diluar lingkaran r=2 dan di dalam kardioda r = 2(1+cos ѳ)

2. VOLUME Jika z=f(x,y) adalah persamaan permukaan , maka: adalah volume benda antara permukaan dan bidang xoy. Contoh : Hitung volume benda yang dibatasi oleh selinder x2 + y2 = 4 dan bidang-bidang y + z = 4 dan z = 0

3. Massa Jika f(x,y) dipandang sebagai massa jenis (massa persatuan luas ), maka : merupakan massa dari benda itu. contoh : Sebuah lamina (pelat tipis) dengan kerapatan f(x,y)=xy dibatasi oleh sumbu x, garis x = 2 dan kurva y=x3 Tentukan massa totalnya.

4. Pusat Massa Jika f(x,y) merupakan massa jenis dari lamina (pelat tipis), maka pusat massanya : (x,y) adalah sbb : , Contoh : Tentukan pusat massa dari lamina yang mempunyai Kerapatan f(x,y) = xy dan dibatasi oleh sumbu x , garis x = 2 dan kurva y = x3

5. Momen Inersia Momen Inersia dari pelat tipis yang mempunyai Kerapatan f(x,y) terhadap sumbu x dan sumbu y adalah : , Sedangkan momen inersia terhadap sumbu z ( titik asal ) : Contoh : Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y dan z Untuk lamina yang mempunyai kerapatan xy dan dibatasi sumbu x , garis = 2 dan kurva y = x3

INTEGRAL LIPAT TIGA dapat diartikan pengukuran volume daerah R Integral lipat tiga dari suatu fungsi tiga variabel bebas thd. daerah R, dimana fungsi bernilai tunggal dan kontinu, merupakan suatu pengembangan dari integral tunggal dan integral lipat dua. Jika f(x,y,z) = 1, maka integral menjadi : dapat diartikan pengukuran volume daerah R

Dalam koordinat tegak lurus , integral tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : dimana : x1 ≤ x ≤ x2 y1 (x) ≤ y ≤ y2(x) z1 (x,y) ≤ z ≤ z2(x,y)

Contoh :