Aplikasi Matriks SISTEM PERSAMAAN LINIER

SISTEM PERSAMAAN LINEAR A. Sistem Persamaan Linear Jika sistem m persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui x 1,x 2,…..,x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + ….+ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ….+ a 2n x n = b 2 ………………………………… a m1 x 1 + a m2 x 2 + ….+ a mn x n = b m

B. SPL Konsisten dan Inkonsisten Apabila SPL mempunyai penyelesaian, maka disebut sistem persamaan linear yang konsisten, sebaliknya SPL tidak mempunyai penyelesaian disebut sistem persamaan linear yang inkonsisten. Suatu SPL yang konsisten mempunyai penyelesaian tunggal atau penyele-saian sebanyak tak berhingga.

C. SPL dengan Matriks a 11 x 1 + a 12 x 2 + ….+ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ….+ a 2n x n = b 1 ………………………………… a m1 x 1 + a m2 x 2 + ….+ a mn x n = b m

atau AX = B dengan A=(a ij ) matriks koefisien, X=(x 1,x 2,…..,x n ) * dan B=(b 1,b 2,…,b n ) *. Matriks lengkap sistem tersebut adalah :

D. Pembagian SPL 1. SPL homogin a 11 x 1 + a 12 x 2 + …….. + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + …….. + a 2n x n = 0 ……………………………………. a m1 x 1 + a m2 x 2 + …….. + a mn x n = 0 Contoh : x 1 – 2x 2 + 3x 3 = 0 x 1 + x 2 + 2x 3 = 0

2. SPL non homogin a 11 x 1 + a 12 x 2 + ….+ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ….+ a 2n x n = b 2 ………………………………… a m1 x 1 + a m2 x 2 + ….+ a mn x n = b m CONTOH x 1 – 2x 2 + 3x 3 = 4 X 1 + x 2 + 2x 3 = 5

E. Penyelesaian SPL Non Homogin Khusus untuk m=n SPL yg non homogin, penyelesaian tunggal bila Det (A) ≠ 0 dapat menggunakan : 1. Aturan Cramer Pandang sistem n persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui : a 11 x 11 + a 12 x 12 + ……..+ a 1n x 1n = b 1 a 11 x 11 + a 12 x 12 + ……..+ a 1n x 1n = b 2 ……………………………………….. a n1 x 11 + a n2 x 12 + ……..+ a nn x nn = b n

Determinan matriks koefisien adalah : Bila de(A k ) adalah determinan yang didapat dari det (A) dengan mengganti kolom ke k dengan suku tetap (b 1 b 2 ……b n ), maka aturan Cramer mengatakan : k = 1,2,3,……,n

Contoh : Selesaikan SPL berikut ! 2x 1 + 8x 2 + 6x 3 = 20 4x 1 + 2x 2 – 2x 3 = -2 3x 1 - x 2 + x 3 = 11 Penyelesaian : determinan matriks koefisien

Sedangkan :

(2). Menggunakan invers matriks Bila Det(A)≠ 0, maka A -1 ada AX = B A -1.AX = A -1.B Jadi : X = A -1 penyelesaian sistem ini. Catatan : Bila m=n dan Det(A) = 0, maka sistemnya mempu- nyai tak berhingga banyak penyelesaian. Contoh : selesaikan SPL berikut dengan mengguna kan invers matriks ! 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 9 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 6 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 8

Penyelesaian : determinan matriks koefisien adalah :

Operasikan rumus invers matriks Invers matriks memiliki rumus sebagai berikut : M -1 = (1/det(M)) x adj(M) Keterangan :M : Matriks det : Determinan adj : adjoin Operasikan rumus invers matriks Invers matriks memiliki rumus sebagai berikut : M -1 = (1/det(M)) x adj(M) Keterangan :M : Matriks det : Determinan adj : adjoin 1. Tentukan minor matriks Maka minor-minornya nya adalah : a. Minor bari ke-1, kolom ke-1 : 5 x x 6 = = -3 b. Minor baris ke-1, kolom ke-2 : 9 x x 6 = = -6

Maka minor dari matriks A adalah : 2. Tentukan kofaktor matriks KE ab = (-1) a+b x NE ab KE 11 = (-1) 1+1 x NE 11 = (-1) 2 x (-3) = 1 x -3 = -3 KE 12 = (-1) 1+2 x NE 12 = (-1) 3 x (-6) = -1 x (-6) = 6 KE 13 = (-1) 1+3 x NE 12 = (-1) 4 x (-3) = 1 x (-3) = -3 KE 21 = (-1) 2+1 x NE 21 = (-1) 3 x (-6) = -1 x (-6) = 6 KE 22 = (-1) 2+2 x NE 22 = (-1) 4 x (-12) = 1 x (-12) = -12 KE 23 = (-1) 2+3 x NE 23 = (-1) 5 x (-6) = -1 x (-6) = 6 KE 31 = (-1) 3+1 x NE 31 = (-1) 4 x (-3) = 1 x (-3) = -3 KE 32 = (-1) 3+2 x NE 32 = (-1) 5 x (-6) = -1 x (-6) = 6 KE 33 = (-1) 3+3 x NE 33 = (-1) 6 x (-3) = 1 x (-3) = -3

Maka kofaktornya adalah : Menentukan adjoin matriks Tentukan determinan matriks DM ordo 3x3 = aei + bfg + cdh – bdi – afh – ceg DM ordo 3x3 = (1 x 5 x 9) + (2 x 6 x 7) + (3 x 4 x 8) – (2 x 4 x 9) – (1 x 6 x 8) – (3 x 5 x 7) DM ordo 3x3 = – 72 – 48 – 105 DM ordo 3x3 = 0

maka : M -1 = (1/det(M)) x adj(M)