Proses Stokastik Semester Ganjil 2013/2014 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Proses Stokastik Peubah acak yang merupakan fungsi dari t Index t paling sering mewakili waktu Xt adalah state dari proses pada waktu t. Himpunan T: index set dari proses Jika T bersifat diskrit A discrete-time proses. Jika T bersifat kontinyu A continuous time proses State space E: himpunan seluruh kemungkinan nilai peubah acak Xt

Proses Stokastik Contoh: Suhu di kota Malang pada Rabu, 12 Oktober 2011 T = [00.00 Rabu dini hari, 00.00 Kamis dini hari] E= himpunan bilangan riil yang mewakili suhu Jika pengamatan suhu dilakukan per jam, dalam kurun waktu tersebut: Proses stokastik dalam waktu diskrit (Discrete time stochastic process)

Stokastik Proses dalam peramalan cuaca: Markov Chain Peluang cuaca besok dipengaruhi oleh cuaca hari ini Jika hari ini hujan 40% kemungkinan besok hujan 60% kemungkinan besok tidak hujan Jika hari ini tidak hujan 20% kemungkinan besok hujan 80% kemungkinan besok tidak hujan Hujan Tidak Hujan 0.6 0.4 0.8 0.2

Discrete Time Markov Chain Transition Probability Proses stokastik dengan memori yang terbatas Nilai peubah pada waktu ke n+1 hanya tergantung pada nilai peubah pada waktu ke n (waktu sebelumnya) Indeks menunjukkan waktu diskrit, n+1, n, n-1, …, 0. n>0 E= himpunan seluruh kemungkinan nilai peubah (State): i, j, in-1, …, i0

Pada Contoh Cuaca Himpunan State yang mungkin, E: Hujan, Tidak Hujan n: indeks yang menunjukkan hari ke – n Xn merupakan realisasi dari cuaca pada hari ke – n Cuaca pada suatu hari hanya dipengaruhi oleh cuaca pada hari sebelumnya Digambarkan dalam transition probability function:

Ukuran matriks bersesuaian dengan jumlah seluruh state yang mungin Transition probability dinyatakan secara lengkap dalam transition probability matrice Ukuran matriks bersesuaian dengan jumlah seluruh state yang mungin Pada kasus cuaca: ada 2 kemungkinan Matriks berukuran 2 × 2 Hujan Tidak Hujan 0.6 0.4 0.8 0.2

Sifat Discrete Time Markov Chain (lanjut) State berupa bilangan bulat tidak negatif {0, 1, 2, …} Xn = j : Rantai markov pada waktu n berada pada state j. Peluang transisi satu langkah Pij: Peluang Xn+1 berada pada state j dengan syarat Xn berada pada state i Peluang transisi satu langkah untuk seluruh kemungkinan nilai i dan j dinyatakan dalam transition probability matrix

Syarat bagi elemen transition probability matrix Pij  0 untuk semua i dan j dan untuk i = 0, 1, 2, …

Perhitungan peluang gabungan Matriks peluang transisi dan sebaran peluang untuk initial process dapat mendefinisikan proses secara lengkap: Peluang gabungan dari proses Markov sejak proses tersebut dimulai Perhitungan peluang gabungan Memanfaatkan sifat peluang bersyarat

Dengan sifat bahwa nilai peubah pada waktu ke n+1 hanya tergantung pada nilai peubah pada waktu ke n (waktu sebelumnya) Peluang gabungan dalam bentuk peluang bersyarat:

Secara rekursif akan diperoleh hubungan berikut: Di mana

Contoh: Misalkan pada kasus cuaca: Peluang hari hujan adalah 0.3 Peluang hari tidak hujan adalah 0.7 Dengan matriks peluang transisi yang sudah didefinisikan:

Peluang bahwa dalam beberapa hari berturut-turut (4 hari) terjadi urutan cuaca berikut Hujan, Tidak Hujan, Hujan, Tidak Hujan Sebesar 2%

Transisi n langkah dari Rantai Markov Matriks peluang transisi hanya mendefinisikan proses perubahan dari state i ke state j dalam satu langkah (periode m ke m+1) Bagaimana jika ingin diketahui perubahan proses dari state i ke state j dalam n langkah (periode m ke m+n)?

Contoh Pada Kasus Cuaca Hujan Tidak Hujan 0.6 0.4 0.8 0.2 Peluang hari ini hujan dengan syarat kemarin tidak hujan adalah 0.2 Bagaimana peluang bahwa besok hujan jika kemarin tidak hujan? Kemarin Hari ini Besok 0.8 0.2 Tidak Hujan Tidak Hujan Hujan 0.2 Hujan 0.4

Perhatikan bahwa: Yang merupakan elemen untuk baris nol kolom 1 pada matriks P2

Transisi n langkah dari Rantai Markov (lanjut) Peluang transisi n langkah dari rantai Markov memenuhi (Chapman-Kolmogorov equations): Yang merupakan elemen dari:

Contoh: Misalkan bahwa produk yang dihasilkan oleh suatu mesin dapat digolongkan menjadi “defective” atau “non-defective” (“cacat” dan “tidak cacat”) Diasumsikan (akibat kecenderungan mesin atau bahan mentah) bahwa cacat atau tidaknya suatu produk dipengaruhi oleh kategori dari produk sebelumnya

Dengan matriks peluang transisi: Berapa peluang diperolehnya produk keempat cacat jika produk pertama cacat Elemen baris 1 kolom 1 pada matriks P3

Contoh Rantai Markov Pada Sistem Sediaan Pada suatu sistem persediaan (gudang) Harus selalu ada stok untuk memenuhi permintaan Misal: Pengisian persediaan dilakukan setiap akhir minggu ke n = 0, 1, 2, …. Total permintaan pada minggu ke n adalah peubah acak ξn (misalkan hanya ada 0, 1, atau 2 permintaan) dengan peluang: Jika secara umum k menunjukkan kemungkinan jumlah permintaan, k = 0, 1, 2

Xn adalah proses stokastik dengan kemungkinan state: Pengisian stok berdasarkan jumlah persediaan di akhir minggu ke n (Xn): Jika Xn ≤ s unit pengisian stok dilakukan sampai dengan S unit (S>s) Jika Xn > s unit, tidak perlu dilakukan pengisian stok Xn adalah proses stokastik dengan kemungkinan state: S, S-1, …, 1, 0, -1, -2, … Xn<0 jika terjadi back order Misalkan S=2 dan s=0, maka: Jika Xn ≤ 0 unit pengisian stok dilakukan sampai dengan 2 unit Jika Xn > 0 unit, tidak perlu dilakukan pengisian stok

Jumlah persediaan di akhir minggu ke n+1 (Xn+1) dipengaruhi oleh: Demand pada minggu ke n+1 (ξn+1 ) Dilakukan pengisian stok atau tidak Pengisian tidak dilakukan Pengisian dilakukan 2, 1, 0, -1 adalah kemungkinan state dari Xn

Xn adalah rantai markov (diskrit) karena: State Xn+1 tergantung dari state di periode sebelumnya, Xn Transition probability dari sistem sediaan ini adalah: Pengisian tidak dilakukan Pengisian dilakukan

Dengan S=2, s=0 Pada i=1 di akhir periode n, terdapat kemungkinan j=-1, 0, 1 di akhir periode n+1 Perhitungan peluang transisi: Akhir Periode n Demand Akhir Periode n+1 j=1 i=1 1 j=0 2 j=-1

Pada i=2 di akhir periode n, terdapat kemungkinan j= 0, 1, 2 di akhir periode n+1 Dengan cara perhitungan peluang transisi yang sama seperti pada i=1

Pada i=0 terjadi pengisian stok, menjadi 2 unit di awal periode n+1 Pada i=0 di akhir periode n, terdapat kemungkinan j= 0, 1, 2 di akhir periode n+1 Pada i=0 terjadi pengisian stok, menjadi 2 unit di awal periode n+1 Dengan cara perhitungan peluang transisi: Akhir Periode n Demand Akhir Periode n+1 j=0+2-0=2 i=0 1 j=0+2-1=1 2 j=0+2-2=0

Dengan cara perhitungan peluang transisi: Pada i=-1 di akhir periode n, terdapat kemungkinan j= -1, 0, 1 di akhir periode n+1 Dengan cara perhitungan peluang transisi: Akhir Periode n Demand Akhir Periode n+1 j=-1+3-0=2 i=-1 1 j=-1+3-1=1 2 j=-1+3-2=0

Dengan matriks peluang transisi selengkapnya:

Contoh Rantai Markov Pada Sistem Antrian Pelanggan datang dan menunggu di pemberhentian taxi Taxi datang setiap 5 menit Jika dalam kurun waktu 5 menit ada pelanggan datang, taxi yang datang segera melayani 1 pelanggan yang datang paling awal, pelanggan selainnya menunggu di antrian (kedatangan 5 menit berikutnya) Jika dalam kurun waktu 5 menit tidak ada pelanggan datang, taxi segera berangkat kembali

Waktu pengamatan dibagi setiap periode 5 menit, Akhir periode adalah pada saat kedatangan taxi Pengamatan Xn: Jumlah pelanggan yang menunggu di antrian pada awal periode n Dengan kemungkinan state: 0, 1, 2, … Dalam satu periode terdapat beberapa kemungkinan jumlah pelanggan yang datang, dengan ξn dengan sebaran peluang: k menunjukkan kemungkinan jumlah pelanggan yang datang, k = 0, 1, 2, …

Jumlah pelanggan di awal periode n+1 (Xn+1) tergantung pada: Jumlah pelanggan di awal periode sebelumnya (Xn) Jumlah pelanggan yang datang di periode n, (ξn ) Dengan peluang transisi jika Xn>0:

Jika Xn=0, pada periode n taksi tidak melayani siapapun: Jika Xn=1, pada periode n taksi melayani satu penumpang ini, selainnya menunggu untuk periode berikutnya: Jika Xn=2: Dst untuk i yang lainnya

Dengan matriks peluang tansisi selengkapnya