SISTEM PERSAMAAN LINIER [INVERS MATRIK] PERTEMUAN 6 OLEH NURUL SAILA PRODI MANAJEMEN FE UPM

Sistem Persamaan Linier (SPL) Definisi dan Istilah Persamaan Linier Metode Menyelesaikan SPL Eliminasi Gauss-Jordan Kaidah Cramer Perkalian Matrik Invers Matrik Definisi Adjoint OBE Menyelesaikan SPL dg Perkalian Matrik PRODI MANAJEMEN FE UPM

“Invers Matrik” Definisi: Jika A adalah sebarang matriks kuadrat dan jika dapat dicari sebuah matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A (B = A-1). Contoh: A adalah invers dari B karena AB = I dan BA = I. PRODI MANAJEMEN FE UPM

“Menentukan Invers Matrik dg Adjoint” Definisi: Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij maka matriks: Dinamakan matriks kofaktor dari A. Transposisi matriks ini dinamakan adjoint dari A dan dinyatakan dengan adj (A). PRODI MANAJEMEN FE UPM

Teorema: Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik maka: Contoh: Tentukan A-1 menggunakan kofaktor, jika: PRODI MANAJEMEN FE UPM

“Menentukan Invers Matrik dengan OBE” 1. Matrik Elementer (E) Definisi: Sebuah matrik nxn dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan nxn yakni In dengan melakukan operasi baris elementer tunggal. Contoh: PRODI MANAJEMEN FE UPM

Teorema: Jika matriks elementer E dihasilkan dari melakukan sebuah operasi baris elementer tertentu pada Im dan jika A adalah matrik mxn, maka hasil perkalian EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A. PRODI MANAJEMEN FE UPM

Contoh: EA = … B3+3B1  … PRODI MANAJEMEN FE UPM

Kalikan baris ke i dengan c ≠ 0 Kalikan baris ke I dengan 1/c 2. Operasi Invers Jika sebuah OBE dikenakan pada sebuah matriks satuan I untuk menghasilkan sebuah matriks elementer E maka ada OBE kedua yg apabila dikenakan pada E akan menghasilkan kembali I. OBE kedua ini disebut operasi invers. OBE pd I Operasi Invers Kalikan baris ke i dengan c ≠ 0 Kalikan baris ke I dengan 1/c Pertukarkan baris ke i dengan baris ke j Pertukarkan baris ke j dengan baris ke i Tambahkan c kali baris ke i ke baris ke j Tambahkan –c kali baris ke I ke baris ke j PRODI MANAJEMEN FE UPM

Teorema: Tiap-tiap matriks elementer dapat dibalik dan inversnya adalah juga sebuah matriks elementer Buktikan! PRODI MANAJEMEN FE UPM

3. Matrik-matrik yg Ekuivalen Baris Definisi: Jika matriks B dapat diperoleh dari matriks A dengan melakukan serangkaian OBE maka A dpt diperoleh dari B dengan serangkaian OBE inversnya. B dikatakan ekuivalen baris dengan A dan sebaliknya. Contoh: PRODI MANAJEMEN FE UPM

Teorema: Jika A adalah sebuah matrik nxn maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen, yakni semuanya benar dan semuanya palsu. A dapat dibalik AX = 0 hanya mempunyai satu pemecahan trivial A ekuivalen baris kepada In. Buktikan! PRODI MANAJEMEN FE UPM

“ Urutan operasi baris yang mereduksi matriks A menjadi In akan mereduksi In kepada A-1 “. Contoh: Tentukan A-1 dengan Operasi Baris Elementer. PRODI MANAJEMEN FE UPM

“Menyelesaikan SPL dg Perkalian Matrik” Menyelesaikan system persamaan linier dengan ‘Perkalian Matrik’ adalah: Mengubah system persamaan menjadi bentuk perkalian matriks Menyelesaikan perkalian matriks dengan menentukan invers matriks koefisien system persamaan PRODI MANAJEMEN FE UPM

Contoh: Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan perkalian matrik. PRODI MANAJEMEN FE UPM

TUGAS MANDIRI Tugas Pertemuan 5 Silahkan di download di blog, http://nsaila2fe.wordpress.com PRODI MANAJEMEN FE UPM