Barisan & deret Segaf, SE.MSc. Mathematical Economics Economics Faculty State Islamic University Maulana Malik Ibrahim Malang Mathematical Economics

Pendahuluan Barisan (sequence) adalah susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Contoh : 3, 5, 7, 9, 11… Bilangan – bilangan yang tersusun disebut suku. Deret (series) adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Contoh : 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + …

Jenis Barisan Berdasar perubahan susunannya Barisan Barisan Aritmatika Barisan Geometri Berdasar perubahan susunannya B. Aritmatika  suku berurutan dg tambahan tetap B. Geometri suku berurutan dg kelipatan tetap

Jenis Barisan (2) Berdasar banyaknya suku Barisan Barisan Tertentu (Finite) Barisan tak tentu (infinite) Berdasar banyaknya suku Infinite sequence  jumlah sukunya tak terbatas Finite sequence  jumlah sukunya terbatas

Jenis Deret Deret Berdasar perubahan susunannya Deret Aritmatika Deret Geometri Deret Geometri Tertentu (finite) Deret Geometri Tak tentu (Infinite) Berdasar perubahan susunannya D. Aritmatika  berurutan dg tambahan tetap D. Geometri berurutan dg kelipatan tetap D.G. Tertentu  memiliki kelompok bilangan tertentu D.G. Tak Tentu memiliki kelompok bilangan tak terhingga

Barisan Aritmatika an = a1 + (n – 1)b Barisan Aritmatika  barisan yg diantara dua suku-nya memiliki perbedaan yg tetap. Example: 5, 8, 11, 14, 17, …. a1 = 5 a2 = 5 + 3 = 8 a3 = 8 + 3 = 11 a4 = 11 + 3 = 14, dst Lambang beda konstan  b, suku pertama  a1, suku kesekian  n a2 = a1 + b a3 = a2 + b = (a1 + b) + b = a1 + 2b a4 = a2 + b = (a1 + b) + b = a1 + 3b Formula Barisan Aritmatika  an = a1 + (n – 1)b

Barisan Aritmatika (2) Example: carilah suku ke-10 dari barisan berikut = 3, 7, 11, 15, 19, … Penyelesaian: a1 = 3, b = 4, n = 10 a10 = 3 + (10 – 1)4 a10 = 39 Example(2): carilah suku ke-21 dalam barisan aritmatika dimana suku ke-5 dan suku ke-11 adalah 41 dan 23. a5 = a1 + 4b = 41 a11 = a1 + 10b = 23 – -6b = 18, b = -3 a1 = 53 a21 = a1 + 20b = -7

Deret Aritmatika Deret Aritmatika  jumlah suku-suku barisan aritmatika. Dn = a1 + (a1+b) + (a1+2b)…+ (a1+(n-1)b) Formula Deret Aritmatika: Dn = ½ n (2a1 + (n-1)b) Example: carilah sepuluh suku pertama dari barisan aritmatika berikut: 3, 7, 11, 15, … Dn = ½ n (2a1 + (n-1)b) Dn = ½ . 10 (2.3 + (10-1)4) Dn = 5(6+36) = 210

Latihan barisan & deret aritmatika Sebuah perusahaan menghasilkan 3.000 buah produk pada bulan pertama. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah produk yang dapat dihasilkan pada bulan kelima dan berapa total produk sampai bulan tersebut? Pada tahun pertama, sebuah produsen menghasilkan 2000 unit produk. Pada tahun ke-5 dapat memproduksi 15000 unit produk yang sama. Jika perkembangan produk dianggap konstan, tentukan tingkat produktivitas pertahun, berapa produk yang dapat dihasilkan pada tahun ke-15, pada tahun keberapa produksi mencapai 50 ribu unit dan berapa total produksi yang telah dicapai sejak awal berdirinya sampai dengan waktu tersebut?

Barisan Geometri (Geometric Sequence) Barisan geometri  kelipatan (rasio) tetap diantara dua sukunya. Ex: (3,6,12,24,…) If “r” is a constant ratio,  a2 = a1.r a3 = a2.r = a1.r2 a4 = a3.r = a1.r3 Geometric Sequence Formula  an = a1.rn-1

Barisan Geometri (2) r5 = 32  r = 2 a11 = a1.r10 a4 = a1.r3 = 24 Example: carilah suku ke-8 dari barisan geometri, suku pertama (a1) adalah 16 dan rasio konstan adalah 2. a8 = a1.rn-1 a8 = 16.28-1 a8 = 2048 Example (2): carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 & suku ke-9 adalah 768. r5 = 32  r = 2 a4 = a1.r3 = 24 a1 = 3 a11 = a1.r10 a11 = 3.210 a11 = 3072

Deret Geometri (geometric Series) Deret geometri  jumlah bilangan (suku) dlm barisan geometri. Dn = a1 + a1.r + a1.r2 +…+ a1.rn-2 + a1.rn-1 Ex: (3+6+12+24+…) Geometric Series Formula 

Deret geometri (2) Example : carilah jumlah suku ke-8 dari barisan geometri berikut ini = 3, 6, 12, 24,…. Penyelesaian: a1 = 3 r = 2

Latihan Barisan & deret Geometri Keuntungan dari suatu perusahaan menunjukkan kenaikan 4% per tahun. Asumsi bahwa keadaan pasar saat ini stabil, berapa keuntungan perusahaan di tahun ke-5, jika diketahui bahwa keuntungan tahun pertama adalah $ 20,000. Tentukanlah total keuntungan pada 5 tahun pertama !