Matrik dan operasi-operasinya Definisi Matrik : susunan bilangan berbentuk segi empat atau bujur sangkar yang diatur dalam baris dan kolom, ditulis antara dua kurung, yaitu ( ) atau [ ] Jumlah baris : m Jumlah kolom : n Ukuran/ordo : m x n Elemen diagonal : a11, a22,….. ann

Suatu bagan transportasi yang menghubungkan 3 kota digambarkan sebagai berikut : 1 2 3 Kita buat tabel : Kota 1 Kota 2 Kota 3 Dari kota 1 dapat pergi ke kota 1 1 0 Dari kota 2 dapat pergi ke kota 1 1 1 Dari kota 3 dapat pergi ke kota 0 0 1

Angka 1 dari tabel menyatakan bahwa kota pada baris dapat pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen aij = 1 ketika dapat pergi dari kota i ke kota j dan lainnya nol. Perhatikan : selalu dapat pergi dari kota i ke kota i Dengan demikian aii = 1 untuk i = 1, 2, 3

Matrik A dan Matrik B dikatakan sama jika : Ordonya sama Kesamaan Matrik Matrik A dan Matrik B dikatakan sama jika : Ordonya sama Elemen yang seletak sama A = (aij ) A = B jika aij = bij untuk i = 1,2,……..m dan j = 1,2, …….n B = (bij )

Contoh : 1) Matrik A = B jika a = 2, b = 0, c = 5 dan d = 3. Matrik A dan B tidak akan sama dengan matrik C sebab ordo A dan B adalah 2 x 2, sedangkan ordo C adalah 2 x 3. 2) R C karena R berordo 1 x 3 dan C : 3 x 1

Bentuk-bentuk Matrik Matrik Bujur sangkar : jumlah baris = jumlah kolom (Ann n x n) Contoh :

b. Matrik Diagonal : matrik bujur sangkar yang elemen diagonal utamanya tidak semua nol (tidak disyaratkan elemen diagonal harus tidak nol), sedangkan elemen yang lain nol. Contoh :

Matrik segitiga bawah : Matrik segitiga atas : matrik bujur sangkar yang setiap elemen di bawah diagonal utama bernilai 0 Matrik segitiga bawah : matrik bujur sangkar yang setiap elemen di atas diagonal utama bernilai 0 Catatan : tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai tak nol

Contoh : Matrik A adalah matrik segitiga atas, sedangkan matrik B adalah matrik segitiga bawah.

Ada tiga hal yang perlu diketahui tentang matrik segitiga : Transpose dari matrik segitiga atas akan menghasilkan matrik segitiga bawah, demikian pula sebaliknya. Contoh :

2. Hasil kali antara matrik segitiga atas akan menghasilkan matrik segitiga atas, demikian juga sebaliknya.

3. Matrik segitiga mempunyai invers jika dan hanya jika elemen pada diagonal utamanya tidak memuat angka nol (0). Contoh : Matrik A di atas tidak mempunyai invers, karena salah satu elemen pada diagonalnya bernilai nol (0)

d. Matrik Nol : matrik dengan semua elemennya nol (0) e. Matrik satuan/identitas : matrik bujur sangkar yang elemen diagonal utamanya bernilai satu, sedangkan elemen yang lain bernilai nol. Contoh :

Sifat matrik identitas dan matrik nol Jika A adalah matrik berukuran n x n, maka : I . A = A . I = A A + 0 = 0 + A = A A . 0 = 0 . A = 0

f. Matrik singular : matrik bujur sangkar yang tidak mempunyai invers (determinannya = 0) g. Matrik non singular : matrik bujur sangkar yang mempunyai invers (determinannya 0)

h. Matrik Pangkat : Ar As = Ar + s ; (Ar)s = Ars Matrik Idempotent : matrik bujur sangkar yang berlaku A2 = A atau An = A, dengan n = 2, 3, 4 ….. Contoh : Jawab :

Matrik Nilpotent : matrik bujur sangkar yang berlaku A3 = 0 atau An = 0, dengan n = 3, 4 ….. Contoh :

Contoh beberapa kasus pemangkatan matrik 1). Jawab :

Disimpulkan : Untuk n = 1

2) Jawab :

Jadi B5 = B. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa pemangkatan B hingga Bn merupakan pengulangan dari B4 B B2 B3 B4 B5 = B

i. Transpose matrik Transpose matrik A (dinotasikan AT) , adalah diubahnya baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris dari matrik A. Notasi matematik transpose matrik ditulis sebagai berikut : (AT)ij = (A)ji

Sifat-sifat dari transpose suatu matrik :

Pembuktian sifat matrik transpose :

Pembuktian sifat 2 : Pembuktian sifat 3 :

Pembuktian sifat 4 :

Contoh Soal : 1) Tentukan AT, BT dan CT dari matrik : Jawab :

Tentukan AT, BT dan CT dari matrik : Jawab :

j. Matrik simetri : Sebuah matrik bujur sangkar dikatakan simetri jika A = AT. Jika suatu matrik : A = AT Ditranspose menjadi : Maka matrik A dikatakan simetri, karena elemen yang terdapat pada A sama dengan pada AT

Beberapa hal penting mengenai matrik simetri : 1 Beberapa hal penting mengenai matrik simetri : 1. Jika A simetri, maka AT juga simetri 2. Jika A dan B simetri, maka A+B atau A-B juga simetri 3. Jika a simetri yang mempunyai invers, maka A-I adalah simetri 4. Jika A memiliki invers, maka A.AT dan AT.A memiliki invers pula.

Contoh Soal : Apakah matrik A dan B berikut ini merupakan matrik simetri ? Jawab : A merupakan matrik simetri karena AT = A B bukan matrik simetri karena ≠ B

k. Matrik Partisi : sebuah matrik dapat dibagi menjadi bagian yang lebih kecil dengan garis pemisah/partisi mendatar dan vertikal.

I adalah matrik identitas 3 x 3, B adalah matrik 3 x 2 O adalah matrik nol 2 x 3 C adalah matrik 2 x 2 Dengan cara partisi tersebut, kita dapat lihat bahwa matrik A adalah sebagai matrik 2 x 2

Jika terdapat matrik A berukuran m x n dan matrik B berukuran n x r, maka untuk mendapatkan hasil perkaliannya (AB) kita dapat membuatnya menjadi perkalian matrik partisi. Kita partisi matrik B dalam bentuk vektor kolom maka : Bentuk akhir disebut perkalian matrik-kolom.

Contoh perkalian matrik kolom : Coba hasil ini di cocokan dengan perkalian biasa.

2. Kita partisi matrik A dalam bentuk vektor baris Bentuk akhir disebut perkalian matrik-baris

Contoh perkalian matrik baris :

3. Kita partisi matrik A dalam bentuk vektor baris dan matrik B dalam bentuk vektor kolom. Bentuk akhir disebut perkalian baris-kolom. Demikian pula dapat dilakukan partisi sebaliknya (kolom-baris), disebut perkalian kolom-baris.

disebut perkalian bagian luar disebut : ekspansi perkalian bagian luar

Contoh soal : Hitung ekspansi perkalian bagian luar AB jika diketahui : Jawab :

Perkalian bagian luar adalah : Jadi ekspansi perkalian bagian luar AB :

Jika matrik A dipartisi menjadi beberapa submatrik, maka bagian tersebut dinamakan blok. Sehingga kita mempunyai struktur blok sebagai berikut:

l. Matrik dalam bentuk eselon baris dan eselon baris tereduksi . Matrik memiliki bentuk eselon baris tereduksi harus memenuhi kriteria : Dalam suatu baris yang semua elemennya bukan nol (0), angka pertama pada baris tersebut haruslah 1 ( disebut leading 1) Jika suatu baris yang elemennya nol semua, maka baris tersebut diletakkan pada baris paling bawah.

Untuk sembarang dua baris yang berurutan, leading 1 dari baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya. Kolom yang memiliki leading 1 harus angka nol untuk semua elemen pada kolom tersebut.

Contoh : Syarat 1 : baris pertama disebut leading 1 Syarat 2 : baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

Syarat 3 : baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3 Syarat 4 : matrik di bawah ini memenuhi syarat ke 4 disebut eselon baris

Contoh matrik eselon baris tereduksi :

Matrik yang memenuhi kriteria 1 – 3 saja disebut : matrik eselon baris Contoh matrik eselon baris :

Operasi Aljabar Matrik

Tentukan A+B, A+C dan B+C ! Contoh Soal : 1) , Tentukan A+B, A+C dan B+C ! Sedangkan A+C dan B+C tidak dapat dikerjakan karena ordo kedua matrik tidak sama

2) Tentukan A + B, A + C dan B + C A + C dan B + C tidak dapat dijumlahkan karena ordo-ordonya berbeda

Bagaimana dengan A – B ? Perlu diingat bahwa : A – B = A + (– B ) A + 0 = A = 0 + A A – A = 0 = – A + A

b. Perkalian matrik dengan matrik Operasi perkalian matrik dapat dilakukan pada dua buah matrik (A dan B) jika jumlah kolom matrik A = jumlah baris matrik B. Aturan Perkalian Jika Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dengan elemen-elemen dari C(cij) merupakan penjumlahan dari perkalian elemen-elemen A baris i dengan elemen-elemen B kolom j.

Notasi perkalian matrik dengan matrik : Contoh Soal 1)

Jawab : c11 =1(-4) + 3( 5) + (-1)(-1) = 12

2) Jawab: Sedangkan B X A tidak dapat dikerjakan, karena jumlah kolom matrik B tidak sama dengan jumlah baris matrik A

3) Jawab : Kesimpulan : AB ≠ BA

4) Tuti dan Rina berencana berbelanja buah-buahan 4) Tuti dan Rina berencana berbelanja buah-buahan. Mereka ingin membeli apel, anggur dan jeruk dengan jumlah yang berlainan seperti tercantum dalam tabel 1. Ada dua toko buah yang saling berdekatan yaitu Tip top dan Rezeki dengan harga jual masing-masing diberikan pada tabel 2. Berapakah uang yang harus disiapkan Tuti dan Rina untuk berbelanja di kedua toko buah tersebut?

Tabel 1. Kebutuhan (dalam Kg) Apel Anggur Jeruk Tuti 6 3 10 Rina 4 8 5 Tabel 2. Daftar harga (dalam ribuan) Tip top Rezeki Apel 10 15 Anggur 40 30 Jeruk 10 20

Jawab : Kita buat dua matrik yaitu matrik D untuk kebutuhan dan matrik P untuk harga. Dengan menghitung perkalian matrik D dan matrik P, maka dapat menjawab jumlah uang yang harus disiapkan Tuti dan Rina (tabel 3).

Tabel 3. Jumlah uang yang disiapkan (dalam ribuan) Tip top Rezeki Tuti 280 380 Rina 410 400

c. Perkalian matrik dengan skalar Suatu matrik dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap-tiap elemen pada A dikalikan dengan k Contoh : Contoh soal: 1) Tentukan : 2A, (- 1A) dan ½ A Jawab :

2) Jawab :

Latihan :

3. 4.

5. 6.

7 8 9 10