STRUKTUR SINGLE DEGREE OF FREDOM DENGAN GETARAN BEBAS DAN EFEK REDAMAN

EQUATION OF MOTION DIFERENTIAL EQUATION OF MOTION my + cy + ky = 0 dimana : m = massa struktur c = faktor redaman y = perpindahan y, y = kecepatan dan percepatan sebagai turunan pertama dan kedua dari perpindahan .. . .. .

TRIAL SOLUTION Dicoba fungsi yang dapat memenuhi persaman tersebut yaitu fungsi eksponensial : y = C ept Dengan memasukkan kedalam pers. Sebelumnya didapat m Cp2 ept + c Cp ept + k C ept = 0 Karakteristik Equation : ( Same faktor = C ept) mp2 + cp + k = 0

PENYELESAIAN PERSAMAAN AKAR DARI PERSAMAAN KUADRAT p1,p2 = -c/2m + √ (c/2m)2 – k/m Sehingga Solusi Umum untuk persamaan tersebut adalah : y(t) = C1ept + C2 ept Dimana C1 dan C2 adalah konstanta integrasi

SISTEM REDAMAN ADA TIGA JENIS REDAMAN : Sistem redaman kritis (Critical Damped System) Sistem redaman superkritis (Overdamped System) Sistem redaman subkritis (Underdamped System)

Redaman kritis Terjadi jika ekspresi dibawah tanda akar persamaan adalah = 0 ( ccr/2m)2 – k/m = 0 ccr = 2 √km Dimana Ccr = harga redaman kritis karena frekwensi natural sistem tak teredam dinyatakan oleh ω = √k/m maka koefisien redaman kritis ccr = 2m ω = 2k / ω

Redaman Kritis Harga akar persamaan adalah sama yaitu p1 = p2 = - ccr /2m Sehingga solusi yang dapat digunakan adalah : y1(t) = C1 e-(ccr/2m)t dan y2(t) = C2 t e-(ccr/2m)t Superposisi dari keduanya : y(t) = (C1 + C2 t) e-(ccr/2m)t

REDAMAN SUPERKRITIS (overdamped system) Terjadi jika c > ccr Dan ekspresi dibawah tanda akar adalah bernilai positif. Sehingga nilai p1 dan p2 nya adalah bernilai real dan berlainan Sehingga solusi persamaanya adalah y(t) = C1 ep1t + C2 ep2t

REDAMAN SUB KRITIS (underdamped system) Terjadi jika c < ccr Karena ekpresi dibawah tanda akar bernilai negatif sehingga nilai p1 dan p2 akan bernilai imaginer Untuk penyelesaian persamaan digunakan persamaan euler yang menghubungkan fungsi eksponensial dengan trigonometrik.

Fungsi Trigonometri Substitusi untuk solusi persamaan : eix = cos x + i sin x e–ix = cos x – i sin x Sehingga solusi umumnya menjadi y(t) = e-(c/2m)t (A cos wDt +B sin wDt) A dan B adalah konstanta integrasi wD adalah frekwensi redaman sistem

FREKWENSI TEREDAM Nilai Frekwensi Teredam dinyatakan oleh : wD = √ (k/m – (c/2m)2) Atau dapat diekspresikan dalam w dan ξ wD = w √ (1- ξ2) Dimana telah diketahui bahwa ξ = C/Ccr w = √ k/m

PERPINDAHAN Solusi Umum Untuk Perpindahan yang terjadi pada sistem getaran bebas teredam y(t)= e-(c/2m)t (A cos wDt+Bsin wDt) Dimana Frekwensi System: wD =√ { k/m – (c/2m)2} atau wD = w √(1-ξ2) Dengan w = √ k/m ( frekwensi Natural) ξ = c / cr ( Ratio Redaman) Dan c = adalah redaman yang terjadi (kondisi subkritis)

Persamaan Gerak dengan Syarat Kondisi Awal Apabila ditentukan kondisi awal (Initial Condition) yo dan vo (perpindahan dan kecepatan awal) y(t) = e-ξwt (yo cos wDt + vo+wyoξw sin wDt) Atau y(t) = C e-ξwt cos (wDt –a) Dimana : C = √(yo2 + (vo+yoξw)2/wD2) tan a = (vo+yoξw)/wDyo) wD adalah frekwensi sistem dengan redaman Apabila ditentukan kondisi awal (Initial Condition) yo dan vo (perpindahan dan kecepatan awal) wD adalah frekwensi sistem dengan redaman

Tugas