Multipel Integral Integral Lipat Dua TIM DOSEN PENGAJAR KALKULUS 2

Penyelesaian integral untuk fungsi dua variabel Partisi daerah tertutup R di bidang xy menjadi persegi panjang - persegi panjang kecil, nyatakan luas dari persegi panjang – persegi panjang ini sebagai Pilih titik sembarang dalam persegi panjang – persegi panjang tersebut, katakan .

Partisi Daerah R . R x y Ui Vi

Penyelesaian integral untuk fungsi dua variabel Tentukan jumlah Riemann Untuk , maka nilai limit jumlah riemann diatas sama dengan nilai integralnya.

Contoh Tentukan jumlah doubel Riemann Dimana D1 adalah daerah persegi dengan batas-batas sebagai berikut dan

Integral Lipat Dua Dalam kasus khusus dimana f(x,y) fungsi nonnegatif atas daerah R, integral lipat diinterpretasikan sebagai volume benda solid yang dibatasi atas dengan permukaan z= f(x,y) dan bawah dibatasi daerah R. Jika fungsi f(x,y) atas daerah R bernilai positif dan negatif , integral lipat bisa diinterpretasikan sebagai selisih dari volume. Volume diatas bidang xy antara z= f(x,y) dan R dikurangi volume di bawah bidang xy antara z= f(x,y) dan R.

Sifat-Sifat Integral Lipat Dua 1. , c suatu konstanta 2. 3. 4. Jika daerah R merupakan gabungan dari beberapa daerah, katakan maka,

Theorema Misal R daerah persegi panjang yang didefinisikan dengan pertidaksamaan jika f(x,y) kontinu atas daerah persegi panjang ini, maka

Contoh Selesaikan integral atas daerah Selesaikan integral atas daerah

Integral Lipat Untuk Daerah Bukan Persegi Panjang Theorema 1. Jika R adalah daerah tipe I (gambar (i)) dimana f(x,y) kontinu, maka 2. Jika R adalah daerah tipe II (gambar (i))dimana f(x,y) kontinu, maka

Daerah Tipe I dan Tipe II c d y = g2(x) y = g1(x) a b x y (i) x = h1(y) x = h2(y) (ii)

Contoh Hitung Hitung pada daerah R yang tertutup antara  

Perubahan Batas Integral Kadang untuk menyelesaikan integral dapat disederhanakan dengan membalikkan batas integralnya Contoh Hitung

Hitunglah integral Integrannya dxdy, daerah R adalah tipe II. Bagian kiri dan kanannya dibatasi x = y1/2 dan x = 2 dan . Dengan merubah R menjadi daerah tipe I yang memiliki batas bawah dan atas, yaitu y = 0 dan y = x2 dan . (2,4) y 4 x = y1/2 2 x y = x2 tipe 2 tipe 1

Interpretasi Integral Lipat Dua menyatakan volume benda solid S yang dibatasi oleh permukaan z = f(x,y) dan dibawah oleh daerah R. Volume dari S juga dapat dinyatakan sebagai Vol (S) = dimana A(x) luas daerah melintang pada titik tetap x.

Interpretasi Integral Lipat Dua Daerah melintang ini diperpanjang dari g1(x) ke g2(x) sepanjang sumbu Y. A(x) = dengan mensubstitusikannya, diperoleh Vol (S) = =

Volume Benda y z y = gi(x) ui xi--1 b a  (x,y,0) P(x,g1,(x),0) (x,y,f(x,y)) (x,y,0) P(x,g1,(x),0) Q(x,g2,(x),0) x R C