Uji Kenormalan

Kolmogorov-Smirnov (Lilliefors) Digunakan untuk ukuran sampel yang relatif kecil dan data bersifat kontinyu Alat analisis untuk menguji kesesuaian antara distribusi dari nilai observasi dengan nilai distribusi teoritisnya (dilihat dari distribusi frekuensi kumulatifnya) Intinya dalam pengujian ini, kita melihat dua fungsi distribusi kumulatif; yaitu hipotesis fungsi distribusi kumulatif (Fo(x)) dan fungsi distribusi kumulatif observasi (S(x)) Jika perbedaan kedua fungsi kumulatif tersebut relatif kecil, maka hipotesa bisa diterima Untuk menguji kesasuaian suatu distribusi dengan distribusi normal, Lilliefors (1967) telah memodifikasi uji K.S. menjadi uji Lilliefors

Lilliefors Uji kenormalan untuk sampel kecil Jika terdapat sampel berukuran n, ; x1, x2, … , xn  apakah sampel tersebut menyebar normal ?  uji kenormalan Hipotesis : H0 : Populasi mengikuti sebaran normal H1 : Populasi tidak mengikuti sebaran normal Statistik uji L = maks |F(x) - S(x)| Daerah kritik Tolak H0 jika L > Lα(n)  lihat tabel Liliefors

RingkasanProsedur Tetapkan distribusi fungsi kumulatif normal (teoritis) Hitung distribusi fungsi kumulatif sampel normal Pasangkan setiap interval S(z) dengan F(z) yang sebanding (untuk suatu nilai sampel x yang sama) Hitung nilai L Jika Lmaksimum > La(n), keputusannya tolak H0

Contoh Suatu contoh acak berukuran 5 dengan nilai pengamatan 4,7,8,12,9. Ujilah dengan tingkat signifikansi 5%, apakah populasi data tsb berdistribusi normal!

Jawab H0 = populasi berdistribusi normal H1 = populasi tidak berdistribusi normal α = 0,05 → Lα(n) = L0,05(5) = 0,337

Dari tabel normal standart diperoleh: F(z1) = P(Zz1) = 0,085 F(z2) = 0,3669; F(z3) = 0,5; F(z4) = 0,9147; F(z5) = 0,6331 Nilai S(zi), masing-masing adalah; S(z1)= S(-1,37) = 1/5 S(z2) = S(-0,34) = 2/5; S(z3) = S(0) = 3/5; S(z4) = S(1,37) = 1; S(z5) = S(0,34) = 4/5

Lmaks < Lα(n), terima H0 1 2 3 4 5 F(zi) 0.085 0.3669 0.9 0.9147 0.663 S(zi) 1/5 2/5 3/5 4/5 |F(zi)- S(zi)| 0,1147 0.0331 0.1 0.1669

Uji Kebaikan Suai (Goodness of Fit) Uji untuk mengetahui apakah suatu populasi data mengikuti sebaran tertentu untuk sampel besar. Berdasarkan pada seberapa baik kesesuaian antara frekuensi yang teramati dalam data contoh dengan frekuensi harapan yang didasarkan pada sebaran pada H0.

Statistik Uji oi = frekuensi amatan/sampel ei = frekuensi harapan ei = N(F(xu) – F (xL)) F = fungsi distribusi kumulatif N = jumlah sampel   Xu = batas atas kelas ke i XL = batas bawah kelas ke i

Statistik Uji Jika 2 kecil, maka kesesuaian distribusi sampel dengan distribusi teoritis baik sehingga terima H0. Jika 2 besar, maka kesesuaian distribusi sampel dengan distribusi teoritis buruk sehingga tolak H0. Nilaikritis: 2hit > a,v dengan v = derajat bebas = (k-1) - banyak parameter

Catatan Untuk uji kesesuaian normal, banyaknya parameter adalah 2 (μ dan σ). Jika frekuensi harapan < 5, maka kategori-kategori yang berdekatan harus digabung Jika banyaknya kelas dengan frekuensi harapan < 5 atau ada kelas yang nilai frekeuensi harapan = 0 lebih besar 20% dari banyak kelas, maka uji Khi-Square tidak bisa dipakai

Contoh : Suatu data hasil penelitian dianggap mengikuti fungsi normal. Data dikelompokkan ke dalam 9 kelas dengan α=0,05. Ujilah hipotesis bahwa observasi mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 184,3 dan varians 211,4116 Nilai observasi Frekuensi observasi 150-158 9 159-167 24 168-176 51 177-185 66 186-194 72 195-203 48 204-212 21 213-221 6 222-230 3

H0 : Distribusi pengamatan mengikuti sebaran normal Jawab : H0 : Distribusi pengamatan mengikuti sebaran normal H1 : Distribusi pengamatan tidak mengikuti sebaran normal Nilai observasi Frekuensi observasi oi Frekuensi harapan ei 150-158 9 159-167 24 26,01 168-176 51 51,5 177-185 66 71,2 186-194 72 67,8 195-203 48 44,6 204-212 21 20,2 213-221 6 } 9* 6,3 } 7,7* 222-230 3 1,4 300 *) digabung karena Ei <5

Untuk mendapatkan peluang dibawah kurva normal :  x ≈ batas kelas sebenarnya : Batas bawah : dikurangi ½ Batas atas : ditambah ½ Untuk kelas 149,5 -158,5 :

-2,39 Peluang pada selang A: P(A) = 0,4916 – 0,4616 = 0,03 -1,77 A Peluang pada selang A: P(A) = 0,4916 – 0,4616 = 0,03 eA= P(A). N = 0,03 x 300 = 9   P(B) = 0,4616-0,3770 = 0,0846 eB = 0,0846 x 300 = 25,4 .

Statistik Uji χ 2α;(k-b)  k=8 (karena ada yg digabung) b=3 χ 20,05;(5) = 11,07 χ 2ob < χ 2tabel  H0 tidak ditolak   :. Observasi mengikuti sebaran/fungsi normal atau fungsi normal tepat untuk dipergunakan sebagai pendekatan terhadap hasil observasi tersebut.

Latihan 1. Data berikut menunjukkan waktu yang digunakan oleh 16 pegawai perakitan dalam mengoperasikan suatu proses tertentu 5,8 7,3 8,9 7,1 8,6 6,4 7,2 5,2 10,1 8,6 9,0 9,3 6,4 7,1 9,9 6,8 Dapatkah kita menyimpulkan bahwa waktu yang diperlukan tersebut mengikuti/berasal dari distribusi normal? Gunakan taraf nyata = 0,05

Latihan Diketahui data mengenai umur aki yang diproduksi pabrik A, adalah sbb: Uji apakah umur aki di pabrik A menyebar normal? Gunakan taraf 5% Batas Kelas Frekuensi amatan 2,0 - 2,4 1 2,5 - 2,9 4 3,0 – 3,4 15 3,5 – 3,9 10 4,0 – 4,9 5 5,0 – 5,9 3