BARISAN DAN DERET ARITMETIKA By. Choi®

A. Barisan Aritmetika Definisi Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b. Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 4, 7, 10, 13, ... b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan Aritmetika c. 30, 25, 20, 15, ... Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).

Contoh : 1, 4, 7, 10, 13, ... +3 +3 +3 +3 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3. b. 2, 8, 14, 20, ... +6 +6 +6 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. 30, 25, 20, 15, ... –5 –5 –5 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut. Jika U adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = U – U

U = a U = U + b = a + b U = U + b = (a + b) + b = a + 2b U = U + b = (a + 2b) + b = a + 3b U = U + b = (a + 3b) + b = a + 4b . U = U + b = a + (n – 1)b Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Keterangan: Un = suku ke-n a = suku pertama b = beda n = banyak suku U = a + (n – 1)b

Contoh 1 : Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, .... Jawab: –3, 2, 7, 12, … Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5. Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh : U = –3 + (n – 1)5. Suku ke-8 : U = –3 + (8 – 1)5 = 32. Suku ke-20 : U = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh 2 : Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut. Jawab: Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3,dan U = 40. Rumus suku ke-n adalah U = a + (n – 1)b sehingga; 40 = –2 + (n – 1)3 40 = 3n – 5 3n = 45 Karena 3n = 45, diperoleh n = 15. Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

B. Deret Aritmetika Definisi Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan S . Dengan demikian, S = U1 + U2 + U3 + ... + U . Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus S , perhatikan contoh berikut : Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U3 + ... + U disebut deret aritmetika, dengan U = a + (n – 1)b.

Contoh 1 : Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut. Jawab: Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut. S = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 S = 14 + 11 + 8 + 5 + 2 2S = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 2S = 5 x 16 S = S = 40 Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

Menentukan rumus umum untuk S sebagai berikut Menentukan rumus umum untuk S sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah U = a + (n – 1)b. Oleh karena itu, U = a = a U = a + b = U – (a – 2)b U = a + 2b = U – (n – 3)b . . . . . . U = a + (n – 1)b = U

Dengan demikian, diperoleh ; S = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b) = a + (U – (n – 2) b) + (U – (n – 3) b) + ... + U ............ (1) Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya. U = U – b U = U – b = U – 2b U = U – b = U – 3b Demikian seterusnya sehingga S dapat dituliskan S = a + (U – (n – 1)b) + … + (U – 2b) + (U – b) + U .......... (2)

Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh ; S = a + (U – (n – 2)b) + (U – (n – 3)b) + ... +U S = U + (U – b) + (U – 2b) + ... + a 2S = (a + U ) + (a + U )+ (a + U ) + ... + (a + U ) n suku Dengan demikian, 2S = n(a + U ) S = n(a + U ) S = n(a + (a + (n – 1)b)) S = n(2a + (n – 1)b)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Keterangan: S = jumlah n suku pertama a = suku pertama b = beda U = suku ke-n n = banyak suku S = n (a + U ) atau S =n [2a + (n – 1)b]

Contoh 2: Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +.... Jawab: Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100. S = x 100 {2(2) + (100 – 1)2} = 50 {4 + 198} = 50 (202) = 10.100 Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100.

Contoh 3: Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100. Jawab: Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan U = 99. Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ; U = a + (n – 1)b 99 = 3 + (n – 1)3 3n = 99 n = 33 Jumlah dari deret tersebut adalah

S = n (a + U ) S = x 33(3 + 99) S = 1.683 Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683

Soal Latihan Tentukan Suku ke- dari barisan berikut: 1, 3, 5, 7, . . . 4, 7, 10, 13, . . . 1, 5, 9, 13, . . . 5, 7, 9, 11, . . . 2, 5, 8, 11, . . . -5, -4, -3, -2, . . . -5, -1, 3, 7, . . . 14, 10, 6, 2, . .

Carilah jumlah setiap deret aritmatika berikut: Tentukan U jika : Suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21 Suku ke-8 adalah -18 dan suku ke-3 adalah 12 Suku ke-4 adalah -9 dan suku ke-15 adalah -31 Carilah jumlah setiap deret aritmatika berikut: 80 + 70 + 60 + . . . Sampai 12 suku 2 + 4 + 6 + . . . Sampai 100 suku 5 + 10 + 15 + . . . Sampai 10 suku 5 + 12 + 19 + . . . Sampai 10 suku

Carilah n jika: 1 + 2 + 3 + . . . + n = 55 5 + 7 + 9 + . . . + n = 192 Hitunglah jumlah semua bilangan asli yang terdiri dari dua angka yang habis dibagi 3 Hitung jumlah bilangan yang habis dibagi 3 dan 5 diantara bilangan 111 sampai dengan 1111.

BARISAN GEOMETRI Barisan yang memiliki perbandingan antar suku terdekat adalah sama. Contoh 2, 4, 8, 16, . . . (pembandingnya adalah 2) 2, 6, 18, 54, . . . (pembandingnya adalah 3) Pembanding di sebut rasio (r)

BARISAN GEOMETRI a, ar, ar2, ar3, . . . , arn-1 x r

Contoh Soal Dalam suatu barisan geometri, U =64 dan U =1 , Tentukan r dan lima suku pertama Jawab: a= 64, dan U = a r U4= 64 r3 = 1 r3 = 1/64 r = 1/4 Jadi lima suku pertama 64, 16, 4, 1, 1/4

Soal 1. Cari rasio untuk tiap barisan geometri berikut: 18, 54, 162, . . . f. 128, 32, 8, 2, . . . 1, -1, 1,-1, . . . g. 32, -80, 200, -500, . . . 1, -2, 4, -8, . . . h. 100, 20, 4, 0.8, . . .

Soal 2. Dalam barisan geometri, dan cari r dan tentukan lima suku pertama dari barisan tersebut. 3. Tuliskan empat suku pertama dari barisan geometri yang ditentukan oleh: . Un= 3(-2)n-1 c) . Un= 6(-0,5)n-1 . Un= 3n-1 d) . Un= 6(-1)n U1= 64 U4= 1

Soal 4. Cari suku yang diminta dalam setiap barisan geometri ini . 5. Tuliskan Rumus suku ke-n dari barisan berikut: 1, 2, 4, . . . d) 2, -6, 18, . . . 3, 6, 12, . . . e) 9, 3, 1, . . . 4, 2, 1, . . . f) 2, -10, 50, . . .

DERET GEOMETRI Deret Geometri a + ar + ar2 + . . . + arn-1 Untuk mencari rumus deret geometri Sn= a + ar + ar2 + . . . + arn-1 r Sn= ar + ar2 + . . . + arn-1 + arn (1 - r) Sn = a – arn (1 - r) Sn = a(1 – rn) Sn= -- a(1 – rn) 1 – r

Contoh Tentukan jumlah dari tujuh suku deret geometri 4 + 2 + 1 + 0,5 + . . . Jawab a = 4 dan r = = Sn= = = 7,94 2 4 1 2 a(1 – rn) 1 – r 4(1 – 0,57) 1 – 0,5

Soal Gunakan rumus untuk mendapatkan jumlah setiap deret geometri berikut ini 1 + 2 + 4 +. . . Sampai 8 suku 2 + 6 + 18 + . . . Sampai 6 suku 2 - 4 + 8 - . . . Sampai 5 suku 2 - 6 + 18 - . . . Sampai 5 suku 1 + x + x2+ . . . Sampai n suku 1 - y + y2- . . . Sampai n suku

Mari Kita Akhiri Dengan Doa Semoga Bermanfaat