GEOMETRI TRANSFORMASI PERKULIAHAN DUA BAGIAN DELAPAN KALI PERTEMUAN MINGGU KE-4 DAN KE-8 UJIAN INDIVIDUAL

Masalah yang dibahas terkait dengan Masalah Geometri seperti berikut :

PENGERTIAN TRANSFORMASI Semesta Pembicaraan TRANSFORMASI adalah BIDANG DATAR Secara umum transformasi diartikan sebagai PINDAHAN APA YANG DIPINDAHKAN ? APAKAH SETIAP PINDAHAN MERUPAKAN TRANSFORMASI? DALAM MATEMATIKA TRANSFORMASI DIDEFINISIKAN SEBAGAI APA ?

GEOMETRI TRANSFORMASI BEBERAPA TRANSFORMASI YANG TELAH DIKENAL 1. Geseran ( Translasi ) 2. Pencerminan ( Refleksi ) 3. Perputaran ( Rotasi ) 4. Tarikan ( Dilatasi ) ADAKAH JENIS TRANSFORMASI YANG LAIN ?

Apa yang akan dipelajari Pada mata kuliah Geo transf 1. Memandang Transformasi sebagai Fungsi 2. Membahas secara khusus dua kelompok dalam transformasi, yaitu yang isometri dan non isometri 3. Membahas hasil komposisi beberapa transformasi 4. Aplikasi dalam penyelesaian masalah geometri

DEFINISI TRANSFORMASI Secara matematis, transformasi didefinisikan sebagai fungsi bijektif pada bidang (R2) MASIH INGAT TENTANG FUNGSI ?

Ingat fungsi bijektif ? f : A  B dikatakan fungsi jika, x,y  A dengan x=y , maka f(x)=f(y) f : A  B dikatakan fungsi injektif ( satu-satu) jika,  x,y  A, dengan f(x)=f(y) maka x = y f : A  B dikatakan fungsi surjektif atau pada jika,  y  B,  x  A, f(x) = y f : A  B dikatakan fungsi bijektif jika f merupakan fungsi satu-satu dan pada

Berkenaan dengan adanya bidang geometri dan geometri analitik, kajian transformasi seringkali ditinjau dari dua sisi pandang , yaitu sisi pandang geometri dan aljabar ( titik disajikan dalam pasangan terurut, garis sebagai persamaan linear dst. )

Transformasi dalam Notasi Fungsi T: V  V merupakan transformasi jika T adalah fungsi bijektif. Dengan V menyatakan bidang datar. Secara aljabar, V dapat ditulis sebagai V={(x,y)|x,yR}.

Transformasi T : V V dikatakan transformasi jika A=(x,y), B=(u,v)  V dengan A=B , maka T(A)=T(B)  A=(x,y), B=(u,v)  V , dengan T(A)=T(B) maka A=B 3.  B=(u,v)  V,  A=(x,y) V, T(A)=B

Contoh-contoh transformasi Dalam Bentuk Aljabar Perkawanan T: V  V dengan T(x,y)=(x+y,3x-y+2) merupakan transformasi. Mengapa ? Apakah Perkawanan T: V  V dengan T(x,y)=(xy,y+2) merupakan transformasi.?Mengapa ? T(x,y)=(x/y, y+2)

Selidiki apakah perkawanan T: V  V dengan Buktikan bahwa perkawanan T: V  V dengan T(x,y)=(x+y,3x-y+2) merupakan transformasi. Selidiki apakah perkawanan T: V  V dengan

Misal A titik tertentu pada bidang V Perkawanan T pada V dengan aturan untuk sebarang P di V, T(P) = Q dengan 2|AP|=3|PQ| dengan P pada ruas garis AQ, merupakan transformasi Secara geometris……………………… A . P . Q

Secara aljabar ……………. A(x,y) . . P (a,b) . Q (u,v)

KOMPOSISI DUA TRANSFORMASI (hasil kali) Dari hasil komposisi dua fungsi bijektif adalah fungsi bijektif maka komposisi dua transformasi adalah transformasi juga, Bukti ?

Bagaimana mentransformasikan garis, terkait rumus transformasi T(x,y)=(f(x,y), g(x,y))

CARA MENTRANSFORMASIKAN GARIS Untuk mentransformasikan garis dilakukan dengan cara berikut. Pada transformasi T, misalkan T(x,y)=(x’,y’) dan garis lax+by+c=0, untuk menentukan T(l)=l’, nyatakan x dan y dalam x’ dan y’, kemudian substitusikan pada persamaan garis l, akan diperoleh persamaan dalam x’, y’. Karena koordinat dalam x dan y , ubah lagi dalam x dan y

Contoh mentransformasikan garis Misal T(x,y)=(2x+y,x-y) dan persamaan garis l:3x+2y-5=0. T(l) adalah…………………. Misalkan (x’,y’)=T(x,y)

Nyatakan x,y dalam x’ , y’ dari x’=x+y, y’=3x-y x= ………., y=…………………

KOMPOSISI DUA TRANSFORMASI (hasil kali) Dari hasil komposisi dua fungsi bijektif adalah fungsi bijektif maka komposisi dua transformasi adalah transformasi juga, Bukti ?

BEBERAPA ISTILAH DALAM TRANSFORMASI 1. Unsur tetap Titik A pada V disebut titik tetap dari transformasi T, jika T(A) = A Garis l disebut garis tetap dari transformasi T, jika T(l) = l

APAKAH SETIAP TRANSFORMASI MEMILIKI TITIK TETAP ? Transformasi T(x,y)=(x+4, y-3) tidak memiliki titik tetap, tetapi memiliki garis tetap. Karena………. APAKAH SETIAP TRANSFORMASI MEMILIKI GARIS TETAP ? BAGAIMANA CARA MENENTUKAN TITIK TETAP DAN GARIS TETAP SUATU TRANSFORMASI ?

BAGAIMANA CARA MENENTUKAN TITIK TETAP DAN GARIS TETAP SUATU TRANSFORMASI ? Andaikan punya titik tetap(garis tetap), misalkan titik tetap(garis tetap) tersebut adalah A=(x,y)(l ax+by+c=0) Diperoleh persamaan yang mengkaitkan nilai x dany (nilai a, b dan c) Jika persaman 2. konsisten, maka diperoleh titik tetap(garis tetap) yang dicari sebaliknya jika persamaan tidak konsisten disimpulkan transformasi tersebut tidak punya (titik tetap) garis tetap.

Transformasi : T(x,y) =(y,4x) Titik tetap Garis tetap

Misal A=(x,y) suatu titik tetap, maka berlaku (x,y)=(y,4x). Sehingga berlaku x=y dan y=4x. Diperoleh x=0 dan y=0. Berarti titik (0,0) merupakan satu-satunya titik tetap. Misal garis l ax+by+c=0 merupakan garis tetap. Perhatikan bahwa l’ adalah suatu garis dengan persamaan 4bx+ay+4c=0. Karena l merupakan garis tetap maka berlaku

Diperoleh 4b2=a2, (b-a)c=0, dan (4b-a)c=0 Kasus 1, c0, maka b=a dan a=4b tidak mungkin Kasus 2, c=0, maka ab dan a4b, sehingga diperoleh a=2b atau a=-2b. Akhirnya diperoleh garis tetap dari T adalah 2x+y=0 atau -2x+y=0

Transformasi : T(x,y) =((2x-y),(x+y)) Titik tetap Garis tetap

Misal A=(x,y) suatu titik tetap, maka berlaku (x,y)=((2x-y),(x+y)). Sehingga berlaku x=2x-y dan y=x+y. Diperoleh x=0 dan y=0. Berarti titik (0,0) merupakan satu-satunya titik tetap. Misal garis l ax+by+c=0 merupakan garis tetap. Perhatikan bahwa l’ adalah suatu garis dengan persamaan (a-b)x+(a+2b)y+3c=0. Karena l merupakan garis tetap maka berlaku Selesaikan.

Contoh transformasi involusi? Dari T2=I diperoleh T=T-1 2. Identitas Suatu transformasi T disebut Identitas, jika T(A)=A, AV. Selanjutnya ditulis sebagai I Transformasi T(x,y)=(x+y, 2x+y) bukan transformasi Identitas, karena…….. 3.Involusi Suatu transformasi T disebut Involusi, jika T(T(A))=A, AV ( atau ditulis T2=I ) Contoh transformasi involusi? Dari T2=I diperoleh T=T-1 Apakah T merupakan Involusi? T(x,y)=(-x,kx+y)

. 4. Kolineasi Suatu transformasi T, disebut bersifat kolineasi jika T memetakan garis (lurus) menjadi garis (lurus) lagi 5. Isometri Suatu transformasi T, disebut bersifat isometri jika untuk setiap dua titik A, B di V berlaku |AB|=|T(A)T(B)|=|A’B’| ( |AB| menyatakan jarak titik A dengan B , A’=T(A), B’=T(B))

6. Similaritas

Contoh transformasi yang tidak bersifat kolineasi . Bukan kolineasi kenapa ? Transformasi T(x,y) = (2x,y) bukan suatu isometri, kenapa?

Isometri mempertahankan kesejajaran BEBERAPA TEOREMA (a) Transformasi isometri T merupakan kolineasi (b) Jika T suatu isometri maka T suatu kolineasi Isometri mempertahankan besar sudut Isometri mempertahankan kesejajaran

Transformasi isometri T merupakan kolineasi Diketahui T suatu Isometri Akan dibuktikan T bersifat kolineasi Ambil sebarang garis l dan l’ merupakan peta dari l. Akan terbukti T kolineasi jika dapat dibuktikan l’ merupakan garis juga. Misal A dan B sebarang dua titik pada l kemudian A’ dan B’ berturut-turut peta dari A dan B, serta h adalah garis yang melalui A’, B’. Akan terbukti T kolineasi jika dapat dibuktikan l’=h. (Mengapa?)

bagian satu

T: V  V dengan T(x,y)=(x+y,3x) Apakah T fungsi jika A=(x,y), B=(u,v)  V dengan A=B , maka T(A)=T(B) Apakah T satu-satu jika  A=(x,y), B=(u,v)  V , dengan T(A)=T(B) maka A=B Ambil sebarang dua titik A=(x,y), B=(u,v)  V , dengan T(A)=T(B) dibuktikan A=B T(A)=T(B) berarti (x+y,3x)=(u+v,3u) Diperoleh x=u, karena x+y=u+v maka y=v

Apakah T merupakan fungsi pada jika  B=(u,v)  V,  A=(x,y) V, T(A)=B T: V  V dengan T(x,y)=(x+y,3x) Ambil sebarang B(x,y) di V Misal A(u,v) sedemikian sehingga T(A)=B Sehingga (u+v,3u)=(x,y) u+v=x 3u=y u=1/3 y v= x- 1/3y

Transformasi? A F . S . A’ P=P’ . Q Q

T(x,y) = (x-2y, xy)

Transformasi ? a, b > 0 b A’ a A .

T(x,y) = (xy, y)) (1,0) dan (2,0)

Isometri merupakan kolineasi Tapi sebaliknya tidak

Selidiki apakah jika T suatu isometri, maka peta sebarang lingkaran oleh T adalah lingkaran yang berjari-jari sama