SEBARAN BENTUK KUADRAT

Sebaran Multivariat Normal DAFTAR SLIDE Sebaran Multivariat Normal Sebaran Central & Non- Central Chi Squared Sebaran Central & Non-Central F Independensi Bentuk Kuadrat 2

SEBARAN MULTIVARIATE NORMAL Definisi: Jika merupakan p variabel random dan jika y vektor berukuran p× 1 dari variabel-variabel tersebut, maka: merupakan fungsi multivariate normal (p-variate) jika kondisi-kondisi berikut terpenuhi: 3

SEBARAN MULTIVARIATE NORMAL R adalah matriks definit positif dengan elemen-elemen rij merupakan konstanta. K adalah konstanta positif. µi merupakan elemen-elemen ke – i dari vektor µ adalah konstanta. 4

SEBARAN MULTIVARIATE NORMAL Bentuk multivariate normal menjadi: atau dengan  adalah matriks varians kovarians dari vektor y. 5

SEBARAN MULTIVARIATE NORMAL Teorema: MGF Multivariate Normal Jika berdistribusi , maka mgf-nya: Dua sifat penting dari MGF: Jika dua vektor random memiliki MGF yang sama, maka keduanya memiliki pdf yang sama. Dua vektor random saling bebas bhb joint MGF-nya dapat diuraikan menjadi perkalian MGF tiap-tiap vektor random. 6

SEBARAN MULTIVARIATE NORMAL Teorema: Ekspektasi Multivariate Normal Jika gabungan dari berdistribusi normal dengan bentuk kuadratik Q, maka vektor rataan adalah vektor yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan misal: 7

SEBARAN MULTIVARIATE NORMAL Sifat-sifat distribusi multivariate normal: Diketahui vektor random , a vektor konstanta berukuran p×1, dan A matriks konstanta k×p dengan rank k≤p, maka: 8

SEBARAN MULTIVARIATE NORMAL Sifat-sifat distribusi multivariate normal: Diketahui , maka sembarang subvektor berukuran r ×1 (r ≤ p) dari y akan berdistribusi normal r-variate dengan rataan, varians, dan covarians seperti distribusi normal p-variate yang asli. jika , maka setiap individual variabel yi dalam y berdistribusi 9

SEBARAN MULTIVARIATE NORMAL Sifat-sifat distribusi multivariate normal Jika maka y dan x independen jika . → jika , maka setiap dua variabel individu yi dan yj independen jika . → jika dan jika maka Ay dan By independen. 10

kemudian hitung x, y, x, y, dan xy LATIHAN Carilah vektor  dan matriks simetris R sehingga pdf berikut dapat ditulis dalam bentuk kemudian hitung x, y, x, y, dan xy 11

LATIHAN Misalkan kedua variabel random pada soal no. 1 disebut x dan y, carilah distribusi z = x – y 12

carilah pdf dari z = y1 - 2y2 + y3 Carilah pdf dari ; LATIHAN Diketahui dengan carilah pdf dari z = y1 - 2y2 + y3 Carilah pdf dari ; Carilah pdf gabungan dari: y1 dan y2 y1 dan y3 13

Definisi (Sebaran Non Central Chi Squared): Sebaran Chi Squared Definisi (Sebaran Non Central Chi Squared): Diketahui y vektor random berukuran p×1 berdistribusi normal dengan rataan dan varians I. Maka berdistribusi non central chi-squared dengan derajat bebas p dan parameter non central yang dinotasikan dengan 14

Sebaran Chi Squared Fungsi probabilitas : 15

Sebaran Chi Squared MGF: Mean dan Varians: 16

Jika masing-masing independen dengan fungsi distribusi , maka: Sebaran Chi Squared Sifat additive: Jika masing-masing independen dengan fungsi distribusi , maka: Jika maka berdistribusi . 17

Jika , , dengan dan saling bebas, maka Sebaran F Jika , , dengan dan saling bebas, maka berdistribusi non-central F dengan parameter non central . 18

pdf distribusi non central F Sebaran F pdf distribusi non central F Apabila  = 0 dan k = 0, maka distribusi F non central akan menjadi distribusi F central 19

mean dan varians distribusi non central F Sebaran F mean dan varians distribusi non central F 20

Distribusi Bentuk Kuadrat Teorema , maka bhb A matriks idempoten dengan rank k . , maka dengan bhb A matriks idempoten dengan rank k. , maka dengan bhb A matriks idempoten dengan rank k. 21

Distribusi Bentuk Kuadrat , maka bhb idempoten dengan rank k. , maka dengan dan k adalah rank dari A, bhb idempoten. 22

Independensi Bentuk Kuadrat Teorema: Independensi dua bentuk kuadrat Jika , A dan B matriks konstanta maka dan independen bhb ( ). 23

Independensi Bentuk Kuadrat Teorema: Independensi bentuk kuadrat dan linier Jika B dan A matriks konstanta dengan ukuran berturut-turut k×p dan p×p serta maka dan independen bhb ( ). 24

pertanyaan