Bab 8 Turunan 7 April 2017

Peta Konsep Turunan Turunan Fungsi Aljabar Turunan Fungsi Trigonometri mempelajari Turunan Fungsi Aljabar Turunan Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma Fungsi Naik, Turun, dan Stasioner Grafik Fungsi Aplikasi Rumus Dasar Turunan Aturan Rantai Persamaan Garis Singgung Kecepatan dan Percepatan Penyelesaian Limit Tak Tentu Kasus Maksimum dan Minimum 7 April 2017

Prasyarat 1. Tentukan gradien dari garis f(x) = x2 + 2x di titik (a, b). 2. Diketahui f’(x) = 2x + 2. Tentukan . 3. Samakan hasil 1 dan 2? Apa sebenarnya hubungan antara soal 1 dan 2? 7 April 2017

A. Turunan dan Tinjauan Geometrinya 1. Pengertian Turunan Turunan suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai berikut. Bentuk limit sudah disinggung di Bab 7. Coba diingat lagi! 7 April 2017

Contoh: Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan pertama fungsi f(x) = x2 + 1. Jawab: 7 April 2017

2. Turunan Ditinjau Dari Sudut Pandang Geometri Misalkan diketahui fungsi y = f(x). Secara geometri turunan fungsi diartikan sebagai gradien (kemiringan). Gradien garis singgung di titik P(a, b) yang terletak pada fungsi y = f(x) adalah sebagai berikut. m = f’(a) = Secara geometris, ilustrasinya dapat dilihat pada gambar berikut. 7 April 2017

7 April 2017

Contoh: Tentukan gradien garis singgung kurva yang memiliki persamaan untuk x ≠ 0 di x = 2. Jawab: Gradien garis singgung kurva y = f(x) untuk x = 2 adalah m = f'(2) = –1. Dengan kata lain, laju perubahan fungsi f(x) di x = 2 adalah –1. 7 April 2017

B. Turunan Fungsi Aljabar Jika n bilangan rasional, a dan c konstanta sedangkan f'(x) turunan dari f(x) maka berlaku rumus turunan Jika f(x) = c maka turunannya adalah f'(x) = 0. Jika f(x) = xn maka turunannya adalah f'(x) = nxn – 1. Jika f(x) = axn maka turunannya adalah f'(x) = anxn – 1. 7 April 2017

Contoh: Tentukan turunan dari f(x) = 6x4 Contoh: Tentukan turunan dari f(x) = 6x4. Jawab: f(x) = 6x4 Mengacu rumus di atas, diperoleh nilai a = 6 n = 4 Jadi, f'(x) = 6(4x4 – 1) = 24x3 7 April 2017

C. Turunan Fungsi Trigonometri 1. Turunan Fungsi Sinus 2. Turunan Fungsi Kosinus Dengan menggunakan rumus akan diperoleh Jika f(x) = sin x, maka turunannya adalah f'(x) = cos x Jika f(x) = cos x, maka turunannya adalah f'(x) = –sin x. a. Jika f(x) = a sin x maka f'(x) = a cos x. b. Jika f(x) = a cos x maka f'(x) = –a sin x. c. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec2 x. d. Jika f(x) = csc x maka f'(x) = –csc x cot x. e. Jika f(x) = sec x maka f'(x) = sec x tan x. f. Jika f(x) = cot x maka f'(x) = –csc2 x. 7 April 2017

D. Sifat-Sifat Turunan Suatu Fungsi f(x) = c u(x), turunannya f'(x) = c u'(x). b. f(x) = u(x) ± v(x), turunannya f'(x) = u'(x) ± v'(x). c. f(x) = u(x) v(x), turunannya f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x). d. f(x) = , v(x) ≠ 0, turunannya e. f(x) = u(x)n, turunannya f'(x) = n(u(x))n – 1u'(x). 7 April 2017

Contoh: Tentukan f'(x) jika diketahui f(x) = (7x2 – 5)8 Contoh: Tentukan f'(x) jika diketahui f(x) = (7x2 – 5)8. Jawab: f(x) = {u(x)}8 u(x) = 7x2 – 5 Dengan demikian, u'(x) = 14x. f'(x) = 8(7x2 – 5)8 – 1 (14x) = 112(7x2 – 5)7 Jadi, f'(x) = 112(7x2 – 5)7. 7 April 2017

E. Menentukan Turunan dengan Aturan Rantai (Pengayaan) Misal terdapat fungsi y = f(u(x)), turunan fungsinya ditentukan dengan rumus Misalkan terdapat fungsi y = f(u(v(x))), turunan fungsinya dapat ditentukan dengan 7 April 2017

Contoh 1: Tentukan turunan fungsi y = (3x – 2)2 Contoh 1: Tentukan turunan fungsi y = (3x – 2)2. Jawab: Misalkan u = 3x – 2. Dengan demikian, y = u2  u = 3x – 2 = Jadi, = 2u × 3 = 2(3x – 2)(3) =18x – 12. 7 April 2017

Contoh 2: Tentukan turunan fungsi y = cos (sin (2x – 1 )) Contoh 2: Tentukan turunan fungsi y = cos (sin (2x – 1 )). Jawab: Misalkan u = 2x – 1 v = sin u y = cos v 7 April 2017

F. Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma (Pengayaan) 1. Turunan Fungsi Eksponen (y = ex) Secara umum, dapat ditentukan turunan fungsi y = eax + b Jika y = ex maka y' = ex. Jika y = eax + b maka y' = aeax + b 7 April 2017

Contoh: Tentukan turunan dari fungsi berikut. a. y = e5x b Contoh: Tentukan turunan dari fungsi berikut. a. y = e5x b. y = e–x + 3 Jawab: a. y = e5x maka y' = 5e5x b. y = e –x + 3 maka y' = –e –x + 3 7 April 2017

2. Turunan Logaritma Natural (ln x) Secara umum, dapat ditentukan turunan y = ln u, dengan u = f(x), adalah sebagai berikut. Jika y = ln x maka ln x = y  x = ey Jika y = ln u, dengan u = f(x) maka 7 April 2017

Perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut. a. y = 2 ln x maka b Perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut. a. y = 2 ln x maka b. y = ln (kx + c) Misalkan u = kx + c. Oleh karena itu, u' = k sehingga c. y = ln (6x5 – 3x2 + 2x) u = 6x5 – 3x2 + 2x. Oleh karena itu, u' = 30x4 – 6x + 2 7 April 2017

G. Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner Pengertian Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner X a b C d e f(x) Y Grafik fungsi f(x) naik pada interval a < x < b dan interval d < x < e. Grafik fungsi turun pada interval b < x < c. Grafik fungsi tidak naik dan tidak turun (stasioner) pada interval c < x < d. 7 April 2017

Cara menentukan interval suatu fungsi naik atau turun. Misalkan diberikan fungsi y = f(x). Grafik f(x) naik jika f'(x) > 0. Grafik f(x) turun jika f'(x) < 0. Grafik f(x) stasioner (tidak naik dan tidak turun) jika f'(x) = 0. 7 April 2017

Contoh: Tentukan interval yang menyebabkan fungsi f(x) = x2 + 2x + 1 naik atau turun, serta titik stasionernya. Jawab: f(x) = x2 + 2x + 1  f'(x) = 2x + 2 = 2(x + 1). Fungsi naik jika f'(x) > 0  2(x + 1) > 0  x > –1. Fungsi turun jika f'(x) < 0  2(x + 1) < 0  x < –1. Fungsi stasioner jika f'(x) = 0  2(x + 1) = 0  x = –1 sehingga f(–1) = 0. Jadi, titik stasionernya (–1, 0). Secara geometris, dapat dilihat pada grafik f(x) = x2 + 2x + 1 berikut. 7 April 2017

Grafik f(x) = x2 + 2x + 1 7 April 2017

2. Jenis-Jenis Nilai Stasioner X Turun Naik a X Turun Naik (a) (b) a X Turun (d) a X Naik (c) 7 April 2017

Misalkan x = a adalah stasioner. Jika pada x < a, f(x) turun dan x > a , f(x) naik maka x = a adalah titik balik minimum. (Gambar (a)) Jika pada x < a ,f(x) naik dan x > a, f(x) turun maka x = a adalah titik balik maksimum. (Gambar (b)) Jika pada x < a, f(x) naik dan x > a, f(x) juga naik maka x = a adalah titik belok. (Gambar (c)) Jika pada x < a, f(x) turun dan x > a, f(x) juga turun maka x = a adalah titik belok. (Gambar (d)) 7 April 2017

Contoh: Tentukan nilai-nilai stasioner fungsi f(x) = x2 – 3x + 2 dan jenisnya. Jawab: f(x) = x2 – 3x + 2  f'(x) = 2x – 3. Nilai stasioner dicapai jika f'(x) = 0, yaitu di titik . Untuk fungsinya turun. Untuk maka fungsinya naik. Dengan demikian, nilai stasioner pada yaitu adalah titik balik minimum, tepatnya adalah titik 7 April 2017

Secara geometris dapat dilihat pada grafik berikut. 7 April 2017

H. Menggambar Grafik Fungsi Dalam menggambar grafik suatu fungsi f(x), langkah- langkah yang perlu kalian perhatikan adalah sebagai berikut. 1. Menentukan titik potong fungsi f(x) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y). 2. Menentukan titik-titik stasioner atau titik ekstrem dan jenisnya. 3. Menentukan titik-titik sembarang dalam fungsi untuk memperhalus grafik. 7 April 2017

Contoh: Sketsalah grafik fungsi f(x) = 2x3 – x4 Contoh: Sketsalah grafik fungsi f(x) = 2x3 – x4. Jawab: Langkah 1: f(x) = 2x3 – x4 = x3(2 – x) = 0 x = 0 atau x = 2  (0, 0) dan (2, 0). Titik potong dengan sumbu Y, x = 0 sehingga f(0) = 0  (0, 0) Langkah 2: f(x) = 2x3 – x4  f'(x) = 6x2 – 4x3 = 2x2(3 – 2x) = 0 x = 0 atau 7 April 2017

Untuk x < 0 maka f'(x) > 0  fungsi f(x) naik. Untuk x = 0 merupakan nilai di mana terdapat titik belok Untuk maka f'(x) > 0  f(x) naik. Jadi x = 0 merupakan nilai di mana terdapat titik belok. b) Untuk Untuk maka f'(x) > 0  f(x) naik. Untuk maka f'(x) < 0  f(x) turun. Jadi titik balik maksimum 7 April 2017

Arah gradiennya seperti ditunjukkan gambar berikut. Grafiknya adalah seperti gambar berikut. 7 April 2017

I. Aplikasi Turunan Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva Persamaan garis di titik (a, b) dan bergradien m adalah y – b = m(x – a). Karena gradien garis singgung f(x) di titik (a, b) adalah y' = f'(a), persamaannya dapat dirumuskan dengan y – b = f'(a)(x – a) 7 April 2017

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung fungsi f(x) = x2 di titik (2, 4). Jawab: f(x) = x2 f'(x) = 2x. f'(2) = 2(2) = 4. Oleh karena itu, persamaan garis singgungnya adalah y – 4 = 4(x – 2)  y = 4x – 4 7 April 2017

2. Perhitungan Kecepatan dan Percepatan Kecepatan rata-rata = v(t) = s = perubahan jarak; t = perubahan waktu. Jika Δt → 0, kecepatan v(t) dirumuskan dengan v(t) = atau v(t) = Misalkan percepatan pada saat t dinotasikan dengan a(t). a(t) = 7 April 2017

Contoh: Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus Contoh: Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus. Jarak yang ditempuh benda tersebut dalam waktu t detik adalah meter. Tentukan kecepatan benda pada waktu t = 2 detik. Jawab: Kecepatan benda saat t = 2 detik adalah sebagai berikut. v(t) = = 2t2 – 9t + 10 v(2) = 2(2)2 – 9(2) + 10 Hal ini berarti pada saat t = 2 detik, benda berhenti sesaat karena pada waktu itu kecepatannya nol. 7 April 2017

3. Menentukan Limit Tak Tentu Salah satu manfaat turunan adalah menentukan nilai limit fungsi jika limit tersebut memiliki bentuk tak tentu. Aplikasi ini sering disebut dengan dalil L’Hopital. Jika f(x) dan g(x) memiliki turunan di x = a dan f(a) = g(a) = 0, sedangkan f'(a) dan g'(a) tidak nol, berlaku rumus berikut. 7 April 2017

Contoh: Tentukan nilai Contoh: Tentukan nilai . Jawab: f(x) = x – 2 g(x) = x2 – 4 Kita cek, f(2) = 0 dan g(2) = 0. Akibatnya, . Kita gunakan dalil L’Hopital: Diperoleh f'(x) = 1 dan g'(x) = 2x. Jadi, . 7 April 2017

4. Menyelesaikan Kasus Maksimum atau Minimum Contoh: Suatu persegi panjang mempunyai keliling 200 cm. Tentukan panjang dan lebarnya agar luas bangun itu maksimum. Jawab: Misalkan panjang = p dan lebarnya = l. Kelilingnya adalah K = 2p + 2l  200 = 2p + 2l  p = 100 – l Luasnya L = pl = (100 – l)l = 100l – l2. 7 April 2017

Agar luasnya maksimum, turunan fungsi L harus nol. =100 – 2l = 0  l = 50 p = 100 – l = 100 – 50 = 50 Dengan demikian, agar luas bangun itu maksimum, lebarnya 50 cm dan panjangnya 50 cm. 7 April 2017