Determinan Trihastuti Agustinah

Introduksi (1) Matriks bujursangkar Notasi: det(A) atau |A| atau Determinan Orde -1: det(A) = det[a11]=a11 Orde -2: Untuk diingat: + -

Introduksi (2) Determinan Orde -3: Untuk diingat: – – – + + +

Contoh 1: Dapatkan determinan dari Dengan menggunakan metode yang diberikan

Catatan: Determinan matriks sama dengan hasilkali elemen-elemen yang terletak pada panah positif dikurangi hasilkali elemen-elemen yang terletak pada panah negatif Untuk diingat: Metode tsb tidak dapat digunakan untuk matriks berukuran 4x4 atau diatasnya

Teorema determinan A matriks bujursangkar Jika A memiliki baris atau kolom nol, maka det(A)=0 det(A)=det(AT) A matriks segitiga nxn  upper, lower, diag det(A) = hasilkali entri-entri pada diagonal utama det(A) = a11 a22 ••• ann Contoh:

Evaluasi determinan: reduksi baris Reduksi matriks ke dalam bentuk segitiga Gunakan operasi baris elementer Hitung determinan Penghitungan menggunakan komputer sistematis mudah diprogram Contoh: dapatkan determinan dari

solusi: reduksi A ke dalam bentuk eselon baris pertukarkan baris pertama dengan baris kedua faktor bersama dari baris pertama yaitu 3, dikeluarkan tambahkan -2 kali baris pertama pada baris ketiga tambahkan -10 kali baris kedua pada baris ketiga faktor bersama (-55), dikeluarkan

Sifat-sifat determinan A dan B matriks bujursangkar berukuran sama det(AB)=det(A)det(B) Jika A dapat-dibalik maka det(A-1)=1/det(A) Contoh: Buktikan bahwa det(AB)=det(A)det(B) dan det(A-1)=1/det(A)

Aplikasi determinan Sistem linear n persamaan n variabel (unknown) ditulis dalam bentuk Ax=x dengan  skalar dapat dinyatakan juga dalam x – Ax=0  : nilai eigen (eigenvalue) atau nilai karakteristik dari A Jika  adalah nilai eigen A, maka solusi nontrivial (I-A)x=0 disebut vektor eigen (eigenvector) untuk  yang bersesuaian Sistem linear memiliki solusi  det(I-A)=0

Contoh 2: Dapatkan eigenvalue dari Persamaan karakteristik Eigenvalue A: = 2 dan =5

Ekspansi kofaktor A: matriks bujursangkar Mij : minor dari entri aij Determinan submatriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihapus dari A Cij = (-1)i+jMij : kofaktor dari entri aij Cij = ± Mij Tanda (-1)i+j membentuk pola

Evaluasi determinan via ekspansi kofaktor Matriks 3x3 det(A): atau

Contoh 3: Dapatkan determinan A melalui ekspansi kofaktor

Adjoint dari matriks A: matriks nxn Cij: kofaktor dari aij Matriks kofaktor: Adjoint A: transpos matriks kofaktor Notasi: adj(A) Invers A:

Contoh 4: Dapatkan invers dari matriks

Aturan cramer ∙∙∙ Sistem persamaan linear Ax = b det(A) ≠ 0 , Sistem persamaan linear Ax = b det(A) ≠ 0 Solusi unik: ∙∙∙ dengan Aj: matriks A dengan kolom ke-j diganti dengan b

Contoh 5: Dapatkan solusi dari sistem linear berikut dengan menggunakan aturan cramer