TRIGONOMETRI SUTRISNO 085640677567

Materi: Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku Nilai perbandingan trigonometri dari sudut khusus Perbandingan trigonometri dari sudut di semua kuadran Persamaan trigonometri sederhana Fungsi trigonometri dan grafiknya Identitas trigonometri Rumus luas segitiga Aturan sinus dan cosinus Pemakaian perbandingan trigonometri Rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut Rumus trigonometri sudut rangkap Rumus penjumlahan dan perkalian trigonometri

Penilaian: NA= 5×H + 2×T + 3×A 10 NA : Nilai Akhir T : Nilai UTS H : Nilai Harian/Tugas A : Nilai UAS Kriteria Nilai Angka Nilai Huruf Bobot Sangat Baik 85 – 100 A 4 Antara Sangat Baik dan Baik 76 – 84 B+ 3,5 Baik 70 – 75 B 3 Antara Baik dan Cukup 63 – 69 C+ 2,5 Cukup 56 – 62 C 2 Antara Cukup dan Kurang 51 – 55 D+ 1,5 Kurang 46 – 50 D 1 Gagal 0 – 45 E

Satuan dan Sudutnya Satuan Derajat Satuan Radian Hubungan Satuan Derajat dan Radian Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku Perbandingan Trigonometri Nilai Trigonometri Suatu Sudut Perbandingan Trigonometri pada Bidang Koordinat Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut di Berbagai Kuadran Rumus Trigonometri Sudut yang Lebih Besar dari 3600 atau Sudut Negatif Persamaan trigonometri sederhana Grafik Fungsi Kuadrat

Trigonometri Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Sejarah Awal Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India. Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segitiga. Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut. Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

Konsep Trigonometri Dasar dari Trigonometri adalah Konsep kesebangunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua bangun datar yang sebangun memiliki perbandingan yang sama. Pada geometri Euclid, jika masing- masing sudut pada dua segitiga memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga itu pasti sebangun. Hal ini adalah dasar untuk perbandingan trigonometri sudut lancip. Konsep ini lalu dikembangkan lagi untuk sudut- sudut non lancip (lebih dari 90 derajat dan kurang dari nol derajat).

Perkembangan dan Aplikasi Trigonometri Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit. Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi. Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales.

Sudut dan Satuannya Satuan Derajat Besar sudut satu putaran = 3600 1 2 putaran = 1 2 × 360 0 = 180 0 1 4 putaran = 1 4 × 360 0 = 90 0 1 360 putaran = 1 360 × 360 0 = 1 0 1 0 = 1 360 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛

Sudut dan Satuannya Satuan Radian Satuan radian diperoleh dari perbandingan antara panjang busur dengan jari-jari lingkaran. ∠𝐴𝑂𝐵= 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵 𝑗𝑎𝑟𝑖−𝑗𝑎𝑟𝑖 radian = 𝐴𝐵 𝑟 radian Besar sudut satu putaran = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑗𝑎𝑟𝑖−𝑗𝑎𝑟𝑖 radian = 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑗𝑎𝑟𝑖−𝑗𝑎𝑟𝑖 radian = 2𝜋𝑟 𝑟 radian = 2𝜋 radian

Sudut dan Satuannya Berarti besar sudut: 1 2 putaran = 1 2 ×2𝜋 radian=𝜋 radian 1 3 putaran = 1 3 ×2𝜋 radian= 2 3 𝜋 radian 1 4 putaran = 1 4 ×2𝜋 radian= 1 2 𝜋 radian Misal ∠𝐴𝑂𝐵 = 1 radian ∠𝐴𝑂𝐵= 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵 𝑗𝑎𝑟𝑖−𝑗𝑎𝑟𝑖 radian 1 radian= 𝐴𝐵 𝑟 radian 𝐴𝐵 =𝑟 Simpulan: Sudut 1 radian adalah sudut yang terbentuk ketika panjang busur sama dengan panjang jari-jari.

Sudut dan Satuannya 𝜋= 22 7 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜋=3,14 Hubungan Satuan Derajat dan Radian Satuan Derajat Satuan Radian Besar sudut 1 putaran = 3600 3600 = 2𝜋 rad 1 2 putaran → 180 0 = 𝜋 rad = 180 0 360 0 ×2𝜋 rad 1 4 putaran → 90 0 = 1 2 𝜋 rad = 90 0 360 0 ×2𝜋 rad 60 0 = 60 0 360 0 ×2𝜋 rad= 1 3 𝜋 rad Besar sudut 1 putaran = 2𝜋 rad 2𝜋 rad = 3600 1 2 putaran → 𝜋 rad = 180 0 = 𝜋 rad 2𝜋 rad × 360 0 1 4 putaran → 1 2 𝜋 rad = 90 0 = 1 2 𝜋 rad 2𝜋 rad × 360 0 1 3 𝜋 rad= 1 3 𝜋 rad 2𝜋 rad × 360 0 = 60 0 𝑎 0 = 𝑎 0 360 0 ×2𝜋 rad 𝑎 rad= 𝑎 rad 2𝜋 rad × 360 0

Sudut dan Satuannya Latihan 1 1. Ubahlah sudut-sudut satuan derajat berikut ke satuan radian a) ∠𝐴𝐵𝐶=800 d) ∠𝐽𝐾𝐿=2500 b) ∠𝐷𝐸𝐹=900 e) ∠𝑀𝑁𝑂=2700 c) ∠𝐺𝐻𝐼=1300 f) ∠𝑃𝑄𝑅=3000 2. Ubahlah sudut-sudut satuan radian berikut ke satuan derajat a) ∠𝐴𝐵𝐶= 1 6 𝜋 rad d) ∠𝐽𝐾𝐿= 3 rad b) ∠𝐷𝐸𝐹= 3 4 𝜋 rad e) ∠𝑀𝑁𝑂= 2 5 𝜋 rad c) ∠𝐺𝐻𝐼= 1,22 rad f) ∠𝑃𝑄𝑅= 2,5 rad

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku Perbandingan Trigonometri Segitiga ABC siku-siku di B. Menurut sudut A: Sisi BC disebut sisi depan sudut Sisi AB disebut sisi samping sudut Sisi AC disebut sisi miring sudut Dalil Pythagoras: AC2 = AB2 + BC2 Perbandingan trigonometri pada segitiga ABC: sin 𝛼 = 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 = 𝐵𝐶 𝐴𝐶 cos 𝛼 = 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 tan 𝛼 = 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 = 𝐵𝐶 𝐴𝐵 C miring depan 𝛼 A B samping Bagaimana jika menurut sudut C?

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku C Sudut Penyiku Segitiga ABC siku-siku di B. ∠𝐴+∠𝐵+∠C= 180 0 𝛼+ 90 0 +β= 180 0 𝛼+β= 90 0 β= 90 0 −𝛼 Jadi, β merupakan sudut penyiku 𝛼. sin (90 0 −𝛼) = sin β = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = cos 𝛼 cos (90 0 −𝛼) = cos β = 𝐵𝐶 𝐴𝐶 = sin 𝛼 β 𝛼 A B Untuk sebarang sudut 𝛼 berlaku sifat: sin (90 0 −𝛼) = cos 𝛼 cos (90 0 −𝛼) = sin 𝛼

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku Sudut Khusus Segitiga ABC siku-siku di B. ∠𝐴=∠C= 45 0 , panjang sisi AB = BC = 1. Tentukan perbandingan trigonometri pada segitiga ABC! Segitiga ABC merupakan segitiga sama sisi, AB = BC = AC = 2. Segitiga ADC siku-siku di D, maka besar ∠𝐴= 60 0 dan ∠C= 30 0 . Tentukan perbandingan trigonometri pada segitiga ADC! 𝛼 300 450 600 sin 𝛼 cos 𝛼 tan 𝛼

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku Latihan 2 1. Tentukan nilai trigonometri sudut-sudut dalam radian berikut. a) sin 1 3 𝜋 b) cos 1 4 𝜋 c) tan 1 6 𝜋 d) cos 1 3 𝜋 2. Hitunglah hasilnya. a) sin 30 0 + cos 30 0 + tan 30 0 c) tan 30 0 − sin 60 0 2 cos 45 0 b) 4 tan 45 0 − 2cos 60 0 + 3 tan 60 0 3. Diketahui cos 𝛼 = 4 5 , tentukan nilai sin 𝛼 dan tan 𝛼 . 4. Diketahui tan 𝑥 =𝑝. Tentukan perbandingan trigonometri berikut dalam p. a) sin x b) cos x c) sin(900 – x) d) cos(900 – x) 5. Jika diketahui sin 550 = a, tentukan nilai perbandingan trigonometri berikut dalam a. a) cos 55 0 b) tan 55 0 c) sin 35 0 d) cos 35 0

Nilai Trigonometri Suatu Sudut Perbandingan Trigonometri pada Bidang Koordinat Sudut positif adalah sudut putaran yang berlawanan arah jarum jam. Ruas garis OP diputar secara bebas pada bidang koordinat XOY dengan pusat putaran titik O. Sudut pada bidang XOY merupakan sudut yang dibentuk oleh ruas garis OP dengan sumbu X positif. Segitiga OPP’ siku-siku di P’. 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 sin 𝛼 = 𝑃𝑃′ 𝑂𝑃 = 𝑦 𝑟 cos 𝛼 = 𝑂𝑃′ 𝑂𝑃 = 𝑥 𝑟 tan 𝛼 = 𝑃𝑃′ 𝑂𝑃′ = 𝑦 𝑥 P(x, y) O X Y 𝛼 𝑟 P’

Nilai Trigonometri Suatu Sudut Sudut antara OP dengan sumbu X adalah 𝛼. (i) (ii) 𝛼= 𝛼= x = x = y = y = r = r = sin 𝛼 = sin 𝛼 = cos 𝛼 = cos 𝛼 = tan 𝛼 = tan 𝛼 = P(0, a) O X Y P(a, 0)

Nilai Trigonometri Suatu Sudut Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut di Berbagai Kuadran Bidang koordinat XOY dibagi menjadi empat kuadran. Dengan menggunakan rumus tersebut, bentuk trigonometri sudut pada kuadran II, III, dan IV dapat diubah ke bentuk trigonometri sudut di kuadran I. Kuadran II: sin ( 180 0 −𝛼) = cos (180 0 − 𝛼) = tan (180 0 − 𝛼) = Kuadran I: sin 𝛼 , cos 𝛼 , dan tan 𝛼 bertanda positif dan dapat ditentukan dengan membandingkan x, y, dan r. Kuadran III: sin ( 180 0 +𝛼) = cos (180 0 + 𝛼) = tan (180 0 + 𝛼) = Kuadran IV: sin ( 360 0 −𝛼) = cos (360 0 − 𝛼) = tan (360 0 − 𝛼) =

Nilai Trigonometri Suatu Sudut Rumus Trigonometri Sudut yang Lebih Besar dari 3600 atau Sudut Negatif Segitiga OPP’ tidak berubah jika ruas garis OP diputar satu putaran, baik searah jarum jam maupun berlawanan arah putaran jarum jam. Sehingga nilai perbandingan trigonometri sudut 𝛼 sama dengan nilai perbandingan sudut 𝛼 + k.3600 dimana k sebarang bilangan bulat. Untuk k bilangan bulat, berlaku hubungan: sin (𝛼+ 𝑘.360 0 ) = sin 𝛼 cos (𝛼+ 𝑘.360 0 ) = cos 𝛼 tan (𝛼+ 𝑘.360 0 ) = tan 𝛼

Nilai Trigonometri Suatu Sudut Latihan 3 1. Tentukan nilai trigonometri sudut-sudut dalam radian berikut. a) cos 4 3 𝜋 b) sin 5 6 𝜋 c) tan 7 4 𝜋 d) sin (− 7 6 𝜋) 2. Hitunglah hasilnya. a) sin 135 0 − cos 225 0 + tan 240 0 c) sin 90 0 + cos 240 0 − sin 330 0 sin 180 0 × cos 150 0 − cos 300 0 b) 3 tan 5 6 𝜋 + 4cos 11 6 𝜋 − sin 2 3 𝜋 3. Diketahui sin 𝛼 =−0,8 dengan 1800 < 𝛼 < 2700, tentukan nilai cos 𝛼 dan tan 𝛼 . 4. Jika 𝜋 2 <𝑥< 𝜋 dan tan 𝑥 =𝑝. Hitunglah hasil dari bentuk-bentuk berikut dalam p. a) sin x b) cos x c) sin(900 – x) d) cos(1800 – x) 5. Diketahui sin 1180 = a, nyatakan nilai trigonometri dari sudut berikut dalam a. a) cos 62 0 b) tan 28 0 c) sin 208 0 d) tan 298 0

Persamaan Trigonometri Sederhana Dari uraian di atas, terlihat bahwa penyelesaian dari persamaan trigonometri tidak tunggal. Penyelesaian dari sin x = sin a adalah 𝑥=α+ 𝑘.360 0 atau 𝑥= 180 0 −α + 𝑘.360 0 dengan k adalah sebarang bilangan bulat. Penyelesaian dari cos x = cos a adalah 𝑥=± α+ 𝑘.360 0 Penyelesaian dari tan x = tan a adalah 𝑥=α+ 𝑘.180 0

Persamaan Trigonometri Sederhana Latihan 4 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut (00 ≤𝑥≤ 3600). a) sin 𝑥 = 1 2 b) tan 𝑥= 3 c)2 cos 𝑥 +1=0 d) cos 𝑥 +1=0 2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut (−𝜋 ≤𝑥≤ 𝜋). a) cos 𝑥=− 1 2 3 c) tan 𝑥 +1=0 b) 2 sin 𝑥− 2 =0 d) sin 𝑥 −1=0 3. Tentukan nilai x di antara 00 dan 3600 yang memenuhi persamaan berikut. a) sin 𝑥= 1 2 2 c) tan (𝑥 + 20 0 )= 3 b) cos 3𝑥 =−1 d) cos (2𝑥 − 10 0 )= 1 2

Koordinat Kutub Pada sistem koordinat kartesius, suatu titik P diwakili oleh sepasang bilangan (x, y) dimana x adalah jarak titik P dengan sumbu Y dan y adalah jarak titik P dengan sumbu X. Selain sistem koordinat kartesius, dikenal pula sistem koordinat kutub. Pada sistem koordinat kutub titik P dinyatakan sebagai (r, 𝜃) dimana r adalah panjang OP dan 𝜃 adalah sudut antara garis OP dengan sumbu X positif. Koordinat x dan y dapat dicari jika diketahui nilai r dan 𝜃. x = r cos 𝜃 y = r sin 𝜃 Atau sebaliknya, koordinat r dan 𝜃 dapat dicari jika diketahui nilai x dan y. r = 𝑥 2 + 𝑦 2 𝜃= 𝑡𝑎𝑛 −1 𝑦 𝑥

Grafik Fungsi Trigonometri Grafik fungsi y = sin x Grafik fungsi y = cos x Grafik fungsi y = tan x Sifat-sifat grafik fungsi trigonometri: Nilai maksimum dan minimum fungsi sinus dan kosinus berturut-turut adalah 1 dan -1. Grafik fungsi trigonometri bersifat periodic Periode grafik fungsi sinus dan cosinus adalah 2𝜋 atau 3600. Periode grafik fungsi tangen adalah 𝜋 atau 1800.

Grafik Fungsi Trigonometri Latihan 5 1. Gambarlah grafik fungsi y = sin x pada interval 600 ≤𝑥≤ 2400. 2. Gambarlah grafik fungsi y = tan x pada interval 00 ≤𝑥≤ 1800. 3. Gambarlah grafik fungsi y = cos (900 – x) pada interval 00 ≤𝑥≤ 1800, kemudian bandingkanlah dengan grafik y = sin x, kesimpulan apa yang diperoleh? 4. Gambarlah grafik fungsi y = sin x, setelah itu pada bidang yang sama gambarlah pula grafik fungsi y = sin 2x, kesimpulan apa yang diperoleh? 5. Gambarlah grafik fungsi y = cos x, setelah itu pada bidang yang sama gambarlah pula grafik fungsi y = 2 cos x, kesimpulan apa yang diperoleh?

Soal Aplikasi Sebuah tangga yang panjangnya 3 meter bersandar pada dinding. a) jika sudut antara lantai dan kaki tangga adalah 540, hitunglah tinggi ujung tangga dari lantai! b) jika ujung tangga bersandar pada dinding dengan ketinggian 2,4 meter, tentukan sudut yang dibentuk oleh lantai dan tangga! Seorang anak melihat pucuk pohon dengan sudut elevasi 400. Diketahui tinggi mata anak adalah 150 cm. Apabila jarak anak dengan pohon adalah 10 meter, hitunglah tinggi pohon! Sebuah pesawat terbang tinggal landas dengan kecepatan rata-rata 4 detik pertama adalah 180 km/jam dan sudut lintasannya dengan landasan adalah 300. Hitunglah ketinggian pesawat pada detik keempat!

Soal Aplikasi Panjang bayangan Lilis yang tingginya 160 cm adalah 98 cm. a) hitung sudut elevasi matahari! b) Tentukan tinggi gedung yang panjang bayangannya 6,4 meter! Besar kuat arus pada detik ke t ditunjukkan oleh fungsi: it = 50 sin 1 3 𝜋t dalam satuan ampere. a) Tentukan kuat arus pada detik keempat! b) Pada detik keberapa sehingga kuat arusnya 25 ampere?