MATEMATIKA BISNIS Pertemuan Ke-9 dan Ke-10 Hani Hatimatunnisani, S.Si BARISAN DAN DERET MATEMATIKA BISNIS Pertemuan Ke-9 dan Ke-10 Hani Hatimatunnisani, S.Si

A. Barisan Dan Deret Aritmatika (Deret Hitung) Andaikan suku pertama,suku kedua, suku ketiga, suku keempat berturut-turut sampai dengan suku ke-n suatu barisan ditulis sebagai berikut : S1, S2, S3, S4,…, Sn. Barisan di atas merupakan barisan hitung apabila selisih antara dua suku yang berurutan (misalnya b) adalah sama. Jadi : S2 – S1 = S3 – S2 = S4 – S3= … = Sn – Sn-1 = b Jika suku pertama dari barisan tersebut dimisalkan adalah a dan selisih antara dua suku yang berurutan adalah b, maka nilai masing-masing suku dari barisan hitung dapat dihitung dengan cara sebagai berikut :

Sn = a + (n-1)b S1 = a S2 = S1 + b = a + b S3 = S2 + b = (a + b) + b = a + 2b S4 = S3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b ..... Sn = Sn-1 + b = a + (n – 2)b + b = a + (n-1)b Maka rumus untuk menghitung nilai suku ke-n suatu barisan hitung dapat tulis sebagai berikut : Sn = a + (n-1)b Dimana : Sn = nilai suku ke-n a = nilai suku pertama n = banyaknya suku b = selisih atau beda (b bisa positif, bisa negatif tetapi b ≠0)

Jumlah dari seluruh bilangan yang membentuk suatu barisan hitung disebut dengan deret hitung. Atau Dn = S1 + S2 + S3 + S4 +… + Sn Dengan memasukkan nilai-nilai setiap suku barisan hitung sebagaimana diuraikan sebelumnya, diperoleh: Dn = a + (a+b) + (a + 2b) + (a + 3b) + … + (a + (n-1)b) Apabila suku terakhir, yaitu a + (n-1)b tetap dituliskan dengan Sn, maka : Dn = a + (a+b) + (a + 2b) + (a + 3b) + … + Sn Jika deret hitung Dn ditulis dua kali dengan urutan yang berlawanan dan kemudian dijumlahkan, diperoleh :

Dn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + … +Sn Dn = Sn + ( Sn – b) + ( Sn – 2b) + ( Sn – 3b) + … + a 2Dn = (a + Sn) + (a + Sn) + (a + Sn) +(a + Sn) + … + (a + Sn) 2Dn = n(a + Sn) +

Maka rumus jumlah deret hitung untuk barisan hitung dari suku ke-n adalah sebagai berikut :

LATIHAN 1 1. Hitung suku ke-16 dan jumlah deret hitung sampai suku ke-16 dari barisan hitung berikut : a. 10, 12, 14, 16, 18, … b. 80, 75, 70, 65, 60, … 2. Nilai suku pertama dari suatu barisan hitung adalah 20 dan nilai suku ke-10 adalah 38. Hitung : a. Beda antara dua suku yang berurutan, b. Nilai dari suku ke-21 c. Suku ke berapa yang bernilai 100, d. Jumlah deret hitung sampai suku ke-41.

3. Suku ke-5 suatu barisan hitung adalah 2000 dan suku ke-14 adalah 4250. Hitung : a. Beda antara dua suku yang berurutan b. Suku pertama dan suku ke-17 c. Jumlah deret hitung sampai suku ke-17

B. Barisan Dan Deret Geometri (Deret Ukur) Andaikan suatu barisan ditulis sebagai berikut : S1, S2, S3, S4,…, Sn Barisan di atas adalah barisan ukur apabila rasio antara dua suku yang berurutan (misalkan r) adalah sama. Jadi : Jika suku pertama dari barisan ukur adalah a dan rasio antara dua suku yang berurutan adalah r, maka nilai masing-masing suku dari barisan ukur tersebut dapat dihitung dengan cara sebagai berikut :

Sn = a rn-1 S1 = a S2 = S1 r = a r S3 = S2 r = a r r = a r2 .... Sn = Sn-1 r = a rn-2 r = a rn-1 Maka rumus untuk menghitung nilai suku ke-n suatu deret ukur dapat tulis sebagai berikut : Sn = a rn-1 Dimana : Sn = nilai suku ke-n a = nilai suku pertama n = banyaknya suku r = rasio atau pembanding (r bisa positif, bisa negatif tetapi r ≠ 0 dan r ≠ 1)

Bila bilangan-bilangan S1, S2, S3, S4, …, Sn dapat ditentukan dan membentuk suatu barisan ukur lalu dijumlahkan, maka hasilnya disebut dengan deret ukur. Misalkan jumlah deret ukur sampai suku ke-n adalah Dn, maka : Atau Dn = S1 + S2 + S3 + S4 +… + Sn Dengan mensubtitusikan nilai masing-masing suku deret ukur, diperoleh : Dn = a + ar + ar2 + … + arn-1 rDn = ar + ar2 +… + arn-1 + arn Dn – rDn = a – a rn (1 – r)Dn = a(1 – rn) -

Maka rumus jumlah deret ukur dari suku ke-n adalah sebagai berikut : ; jika r < 1 atau ; jika r > 1

LATIHAN 2 1. Hitunglah suku ke-10 dan jumlah deret ukur sampai suku ke-10 dari barisan ukur berikut : a. 2, 6, 18, 54, 162, … b. 10, - 20, 40, - 80, 160, … c. 1, (1.05), (1.05)2, (1.05)3, (1.05)4, … 2. Nilai suku ke-4 dari suatu barisan ukur adalah 1600 dan nilai suku ke-6 adalah 25600. Hitung : a. Rasio antara dua suku yang berurutan b. Suku pertama dan suku ke-9 c. Jumlah deret ukur sampai suku ke-9

3. Seseorang menulis suatu surat berantai dan mengirimkannya kepada lima orang temannya (tahap pertama). Oleh kelima orang ini, surat tersebut digandakan dan kemudian mengirimkannya lagi ke masing-masing lima temannya (tahap kedua). Jika pada tahap-tahap berikutnya, setiap orang yang menerima surat menggandakan dan mengirimkannya lagi ke masing-masing lima temannya, hitung jumlah orang yang sudah mendapatkan surat berantai sampai tahap ke-10