(− 1n ) = 0 MODUL VI lim sin 3 n lim dan KONVERGENSI LANJUT Teorema 2 ( Teorema Apit ) : Andaikan {an }dan {cn } barisan yang konvergen menuju L dan andaikan a n ≤ bn ≤ cn untuk n ≥ K (K bilangan asli yang tetap). Maka {bn } juga konvergen menuju L. Contoh soal 3 : lim sin 3 n n → ∞ n Buktikan bahwa = 0 . Penyelesaian: Untuk n ≥ 1 , kita peroleh 3 n n n Oleh karena (− 1n ) = 0 lim n → ∞ dan lim n → ∞ n terbuktilah limit yang harus dicari berdasarkan Teorema Apit. Soal latihan : Bagaimanakah dengan lim sin 2 n n → ∞ n dan lim cos 3 n n → ∞ n Teorema 3 : http://www.mercubuana.ac.id

lim 1 lim lim lim Teorema 4 (Teorema Barisan Monoton) : np = ⎛⎜ 1 ⎞⎟⎜⎜ ⎝ p ⎠⎝ n → ∞ n ⎟⎠ ⎟ = 0, maka berdasarkan Teorema Apit kita peroleh lim n → ∞ n r = 0, atau ekuivalen dengan lim n → ∞ Maka menurut Teorema 3, kita peroleh r n = 0. r n = 0. lim n → ∞ Terbukti bahwa apabila − 1 < r < 1 , maka r n = 0 . Teorema 4 (Teorema Barisan Monoton) : Apabila U suatu batas atas untuk suatu barisan tak turun {an }, maka barisan ini konvergen menuju suatu limit A yang kurang dari atau sama dengan U. Begitu pula, apabila L suatu batas bawah untuk suatu barisan yang tak naik {bn }, maka barisan {bn } itu konvergen menuju suatu limit B lebih dari atau sama dengan L. Contohnya Perhatikan barisan tak turun {an }. Ini berarti bahwa untuk n ≥ 1 berlaku an ≤ an +1 . http://www.mercubuana.ac.id

Pertidaksamaan terakhir benar untuk n > 3. Oleh karena barisan menurun (persyaratan lebih berat daripada tak naik) dan terbatas oleh nol di bawah, maka menurut Teorema Barisan Monoton, barisan itu mempunyai limit. Dengan menggunakan kaidah l’Hopital mudahlah ditunjukkan bahwa limit barisan tersebut adalah nol. Teorema 5 ( Barisan Monoton ) : Apabila U suatu batas atas untuk suatu barisan tak turun {an }, maka barisan ini konvergen menuju suatu limit A yang kurang dari atau sama dengan U. Begitu pula, apabila L suatu batas bawah untuk suatu barisan yang tak naik {bn }, maka barisan {bn } itu konvergen menuju suatu limit B lebih dari atau sama dengan L. Contohnya Perhatikan barisan tak turun {an }. Ini berarti bahwa untuk n ≥ 1 berlaku an ≤ an +1 . Misalnya an = n 2 dan an = 1 − 1n . Hanya ada dua kemungkinan, yaitu a n menjadi semakin besar apabila n → ∞ Atau http://www.mercubuana.ac.id