Sistem Persamaan Linear 2 Analisa Numerik Sistem Persamaan Linear 2

Overview Sistem segitiga atas : Sistem segitiga bawah : u1,1x1 + … + u1,n-1xn-1 + u1,nxn = b1 ... un-1,n-1xn-1 + un-1,nxn = bn-1 un,nxn = bn Sistem segitiga bawah : l1,1x1 = b1 l2,1x1 + l2,2x2 = b2 … ln,1x1 + ln,2x2 + … + ln,nxn = bn Solusi (back substitution) : banyak pembagian : n banyak penjumlahan, perkalian : Solusi (forward substitution) : banyak pembagian : n banyak penjumlahan, perkalian :

Eliminasi Gauss Algoritma Eliminasi Gauss k = 1, 2, …, n-1 i = k+1, …, n i = k+1, …, min(k+LR, n) mik = aik(k) / akk(k) j = k+1, …, n, …, n+p j = k+1, …, min(k+LC, n) aij(k+1) = aij(k) - mikakj(k) LR = lebar below diagonal ; LC = lebar upper diagonal. Algoritma ini (pakai p) kalau kita punya : Jumlah pembagian : Jumlah perkalian penjumlahan : Utk.mencari solusi, jumlah operasi : * jumlah operasi back substitution banded

Dekomposisi LU Dekomposisi A menjadi LU (A = LU) Di matlab Dlm. banyak pemakaian eliminasi Gauss, b1, …, bp belum tersedia (ada) pada saat eliminasi dilakukan. Jk. b1, …, bp sudah ada, mk. utk. mencari solusi, lakukan : Ax = LUx = b Misalkan : Ux = y, Ly = b Jd. kalau L dan U sudah diketahui, mk. hanya perlu operasi Di matlab [L, U, P] = LU(A) ; PA = LU Jk. tidak ada perubahan (no pivoting), P = I

Mencari LU Dng. eliminasi Gauss Dng. metode Doolittle for k = 1, …, n-1 mkk = 1 for j = k, k+1, …, n end for for i = k+1, …, n (Hasilnya sama dng. L,U hasil eliminasi Gauss)

Mencari LU Dng. eliminasi Gauss Metode Choleski (akar kuadrat). ukk = 1, k = 1, 2, …, n for k = 1, …, n-1 Metode Choleski (akar kuadrat). Utk. matriks simetris & positive definite (diagonal dominan). end for di mana U = LT Strategi pem-pivot-an parsial dilakukan pd. setiap k (kalau diperlukan).

Contoh Mencari LU Contoh : Dng. eliminasi Gauss :

Invers Mencari invers : Jk. terpaksa harus mencari invers : Utk. mendapatkan taksiran kesalahan yg. baik. Hanya dipakai pd. aplikasi tertentu spt. analisa regresi. Jarang dipakai orang utk. mencari jawaban Ax = b. Membutuhkan 4n3/3, jk. dipakai cara AX = I Jk. terpaksa harus mencari invers : Pakai A = LU, perlu operasi. Pakai A-1 = (LU)-1 = U-1L-1. Cari L-1 dng. : Cari U-1 dng. : Lalu perkalian A-1 = U-1L-1 perlu Total operasi = n3