KALKULUS 2 TEKNIK INTEGRASI

PENGERTIAN INTEGRASI Integral adalah lawan diferensiasi. Penulisan simbol integral: Rumus – rumus dasar integrasi

Integral Parsial Bila bertemu dengan integran yang pengintegralannya tidak dapat dibawa ke bentuk dasar. Salah satu cara penyelesaiannya dengan metode integral parsial. Dengan pemisalan: u = f(x) dan v = g(x). Jika u dan v masing-masing fungsi terhadap x serta merupakan dua buah fungsi yang diferensiabel, maka dari: d (u v ) = u dv + v du u dv = d ( uv ) – v du ∫ u dv = ∫ d ( uv ) - ∫ v du

Dengan pemisalan: u = f(x) dan v = g(x) Dengan pemisalan: u = f(x) dan v = g(x). Metode integral parsial memiliki bentuk: Keterangan: u = f(x) - du = turunan dari u v = g(x) - dv = turunan v

Dalam integral parsial yang perlu diperhatikan adalah sebagai berikut: 1.Dalam pemilihan / pengambilan u, sedemikian sehingga ∫ v du harus lebih mudah dikerjakan daripada ∫ u dv, 2. Umumnya metode integral parsial ini dipergunakan pada integral yang mengandung fungsi logaritma atau perkalian polinom xn dengan fungsi trigonometri seperti x cos x, atau xn sin x, juga perkalian fungsi eksponensial xn eax, atau perkalian fungsi eksponensial dengan fungsi trigonometri seperti e2x sin x. Selain itu fungsi-fungsi yang tidak terdapat pada rumus dasar seperti fungsi siklometri.

Contoh soal: 1. ∫ x exdx = Misalkan: u = x  du = dx dv = ex dx  ∫dv = ∫ ex dx  v = ex (konstanta Sembarang C sebaiknya tidak usah kita berikan dulu, nanti setelah hasil integral diperoleh, tinggal ditambahkan) Jadi ∫ x ex dx = u v - ∫ v du = x ex - ∫ ex dx = x ex - ex + C

dv = sin x dx  ∫ dv = ∫ sin x d x v = - cos x ∫ ln x dx = Misalkan : u = ln x  du = 1/x dx dv = dx  ∫ dv = ∫ dx  v = x Jadi: ∫ ln x dx = u v - ∫ v du ∫ ln x dx = x ln x - ∫ x . 1/x dx = x ln x - ∫ dx = x ln x - x + C. 3. ∫ x sin x dx = Misalkan : u = x  du = d x dv = sin x dx  ∫ dv = ∫ sin x d x v = - cos x ∫ x sin x dx = - x cos x - ∫- cos x dx = - x cos x+∫ cos x dx = - x cos x+sin x+C.

Contoh 4: . ∫ arc tg x dx = Misalkan: u = arc tg x  du = dx dv = dx  ∫ dv = ∫ dx  v = x . ∫ arc tg x dx = x arc tg x - ∫ dx untuk ∫ dx = misalkan: p = 1 + x2 dp = 2x dx  dx = maka:  dx = Jadi : ∫ arc tg x dx = x arc tg x – ½ ln ( 1 + x2) + C.

Rumus-rumus reduksi untuk sinus dan cosinus

Pengintegralan perpangkatan Sinus dan Cosinus Dalam bagian ini akan dipelajari metode untuk menyelesaikan integral bentuk: Dengan m dan n bilangan bulat tak negatif. Identitas trigonometri: dan cos2x=2cos2x-1

Jika m dan n bilangan bulat positif, maka Integral: m ganjil, -pilahlah faktor dari sin x -gunakan kesamaan terkait, sin2x=1-cos2x -substitusi u = cos x n ganjil, -pilahlah faktor dari cos x -gunakan kesamaan terkait, cos2x=1-sin2x -substitusi u = sin x m dan n genap : gunakan kesamaan terkait untuk mereduksi pangkat sin x dan cos x: sin2x = ½(1 - cos2x) Cos2x= ½(1 + cos2x)

Integrasi perpangkatan secan dan tangen :⌡tanmx secnx dx Bila m dan n bilangan bulat tak negatif : m ganjil, -pilahlah faktor pembagi sec2 x -gunakan kesamaan terkait, sec2x=tan2x+1 -substitusi u = tan x n genap, -pilahlah faktor pembagidari sec x tanx -gunakan kesamaan terkait, tan2x=sec2x-1 -substitusi u = sec x m genap dan n ganjil : gunakan kesamaan terkait untuk mereduksi pangkat sec x sendiri.: Kemudian gunakan rumus reduksi untuk pangkat sec x: tan2x = sec2x - 1

Integral fungsi rasional;pecahan parsial Fungsi rasional pada umumnya susah diintegralkan. Faktor-faktor linear; Jika semua faktor Q(x) linear, maka dekomposisi pecahan parsial dapat ditentukan dengan aturan berikut: Aturan faktor linear; Untuk setiap faktor dalam bentuk (ax+b)m, dekomposisi pecahan rasional mengandung jumlahan dari m pecahan parsial: Dengan , A1, A2, ….Am, konstantan yg dicari

Faktor-faktor kuadratik Jika Q(x) mempunyai faktor kuadratik yang tidak dapat disederhanakan, maka dekomposisi pecahan parsial P(x)/Q(x) dapat ditentukan dengan aturan sbb: Aturan faktor kuadratik: Untuk setiap faktor berbentuk (ax2+bx+c)m, dekomposisi parsialnya sbb: Dengan A1, A2, ……Am, B1, B2, …..Bm konstantan yang dicari

Substitusi Trigonometri Bagaimana menyelesaikan integral yang memuat ekspresi berbentuk; dan (a>0) dengan membuat substitusi yang mencakup fungsi-fungsi trigonometri Akan ditunjukkan pula bagaimana metode kuadrat sempurna kadang dapat digunakan untuk membantu menyelesaikan integral yang memuat ekspresi-ekspresi berbentuk ax2+bx+c

Integral yang mencakup: ax2 + bx + c Integrasi-integrasi yang mengandung ax2+bx+c, dengan a≠0 dan b≠0, dapat dilakukan pertama dengan membuat kuadrat sempurna, selanjutnya dengan melakukan substitusi yang sesuai. Contoh : Selesaikan Dengan menyempurnakan kuadrat diperoleh; X2-4x+8 = (x2-4x+4)+8-4= (x-2)2 + 4 Jadi dengan substitusi: u=x-2, du = dx Diperoleh;

Diperoleh ;