Analisa Numerik Aproksimasi Turunan

Aproksimasi Turunan Diberikan f(x) (biasanya sulit diturunkan). Cari f’(a), di mana f terdefinisi pada [c, d]. Solusi : Pilih x0, x1, ..., xk ∈ [c, d] f(x) = Pk(x) + f[x0, ..., xk, x]k(x) di mana Pk(x) polinom berderajat  k menginterpolasi f(x) pada x0, ..., xk Perhatikan bahwa f[x0, ..., xk, x] = f[x0, ..., xk, x, x] Jd.: f’(x) = P’k(x) + f[x0, ..., xk, x, x]k(x) + f[x0, ..., xk, x]’k(x) (7-2)

Error Definisikan operator D sebagai D(f) = f’(a), a ∈ [c, d]. Kesalahan aproksimasi turunan f adalah : E(f) = D(f) – D(Pk) = f[x0, ..., xk, a, a]k(a) + [x0, ..., xk, a]’k(a) = utk. Tetapi jarang diketahui f(k+2), f(k+1), dan hampir susah ditentukan Untuk mempermudah mencari E(f), maka a harus ditentukan.

Error Pilih a = xi Pilih a sehingga ’k(a) = 0, dng. cara : maka k(a) = 0 Pilih a sehingga ’k(a) = 0, dng. cara : Pilih xi ∀i sehingga xi simetris thd. a x0..... a..... xk Dng. mendefinisikan xk-j – a = a – xj , j = 0, ..., (k-1)/2

Contoh Berapa banyak titik yg. dibutuhkan agar dapat menghitung f’(a) ? (k = ?) k = 1, Pk(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) D(Pk) = f[x0, x1] Jk. a = x0 menurut (7-2) (h = x1 - x0) f’(a) ≈ f[a, a+h] = (f(a+h) - f(a)) / h menurut (7-4) Disebut Formula forward-difference a = 1/2 (x0 + x1) Jd. x0 = a-h x1 = a + h, h = 1/2 (x1 - x0) diperoleh Formula central-difference

Contoh k = 2, Pk(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2] (x - x0) (x - x1) Jk. a = x0 maka dari 7-2 dan 7-4 f’(a) = f[a, x1] + f[a, x1, x2](a - x1) + 1/6 (a - x1)(a - x2)f’’’() (7-9) Lalu definisikan x1 = a + h, x2 = a + 2h, maka (7-9) menjadi Kalau x1 = a - h, x2 = a + h, maka

Aproksimasi Derivatif yg. Lebih Baik Aproksimasi derivatif yg. lebih tinggi utk. f(x) f(x) = Pk(x) + f[x0, …, xk, x]k(x) f’(x) = P’k(x) + f[x0, …, xk, x, x]k(x) + f[x0, …, xk, x]’k(x) f’’(x) = P’’k(x) + 2f[x0, …, xk, x, x, x]k(x) + 2f[x0, …, xk, x, x]’k(x) + f[x0, …, xk, x]’’k(x) Pilih k = 2, a = x0 Jd. f’’(a) = 2f[a, x1, x2] + 2f[a, x1, x2, a, a] (a - x1)(a - x2) + f[a, x1, x2, a] 2 (a - x1 + a - x2)

Aproksimasi Derivatif yg. Lebih Baik Definisikan x1 = a + h, x2 = a + 2h, maka Definisikan x1 = a - h, x2 = a + h, maka Jd. jk. a berada di tengah-tengah, formula lebih teliti

Contoh f’(a) dng. central-difference f’’(a) dng.