Bab 3 MATRIKS

Standar Kompetensi Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain. Menentukan determinan dan invers matriks 2 × 2. Menggunakan determinan dan invers dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.

MATRIKS Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom.

Contoh: Kelompok bilangan merupakan matriks, sebab susunannya berbentuk persegi dan bilangan-bilangan itu tersusun dalam baris dan kolom. 2. Kelompok bilangan bukan matriks, sebab susunannya tidak berbentuk persegi maupun persegi panjang, tetapi berbentuk segitiga.

BEBERAPA ISTILAH DALAM MATRIKS 1. Baris 2. Kolom 3. Elemen/unsur 4. Ordo

Baris, Kolom, dan Elemen Baris dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar atau horisontal dalam matriks. Kolom dari suatu matriks adalah bagian yang dituliskan tegak atau vertikal dalam matriks. Elemen atau unsur suatu matriks adalah bilangan-bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu.

Contoh:

Ordo dan Banyak Elemen Matriks Ordo atau ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolom dari matriks itu. Banyak elemen atau banyak unsur dari suatu matriks ditentukan oleh hasil kali banyak baris dengan banyak kolom dari matriks itu.

Contoh: Matriks A dikatakan berordo atau berukuran 2 × 3 Notasi : Banyak elemen dalam matriks A ditentukan oleh 2 × 3 = 6

Jenis Matriks Matriks Baris Matriks Kolom atau Matriks Lajur Matriks Persegi Matriks Segitiga Matriks Diagonal Matriks Identitas Matriks Datar Matriks Tegak

Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks berordo 1 × n terdiri atas satu baris dan memuat n elemen disebut matriks baris. Matriks berordo m × 1 terdiri atas satu kolom dan memuat m elemen disebut matriks kolom atau matriks lajur. Contoh:

Matriks Persegi dan Matriks Segitiga Misalkan suatu matriks berordo m × n dengan nilai m = n, sehingga diperoleh matriks berordo n × n disingkat matriks berordo n disebut matriks persegi berordo n. Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks yang berada di bawah diagonal utama atau di atas diagonal utama semuanya bernilai nol disebut matriks segitiga.

Contoh: Matriks Persegi Matriks Segitiga

Matriks Diagonal dan Matriks Identitas Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks yang berada di bawah dan di atas diagonal utama semuanya bernilai nol disebut matriks diagonal. Matriks diagonal berordo n dengan elemen-elemen pada diagonal utama semuanya bernilai 1 disebut matriks identitas atau matriks satuan.

Contoh: Matriks Diagonal Matriks Identitas

Matriks Datar dan Matriks Tegak Matriks berordo m × n dengan m < n, berarti banyak kolom lebih banyak dibandingkan dengan banyak baris disebut matriks datar. Matriks berordo m × n dengan m > n, berati banyak baris lebih banyak dibandingkan dengan banyak kolom, sehingga susunan elemen-elemennya membentuk persegi panjang tegak disebut matriks tegak.

Contoh:

Transpos Matriks Transpos dari matriks A berordo m × n adalah sebuah matriks A′ berordo n × m yang disusun dengan proses sebagai berikut: Baris pertama matriks A ditulis menjadi kolom pertama dalam matriks A′, Baris kedua matriks A ditulis menjadi kolom kedua dalam matriks A′, Baris ketiga matriks A ditulis menjadi kolom ketiga dalam matriks A′, …, demikian seterusnya Baris ke-m matriks A ditulis menjadi kolom ke-m dalam matriks A′. NOTASI

Contoh:

Matriks Simetris Misalkan matriks A adalah matriks persegi berordo n. Matriks A disebut matriks simetris atau matriks setangkup jika dan hanya jika elemen-elemen yang letaknya simetris terhadap diagonal utama bernilai sama, ditulis: dengan i ≠ j.

Kesamaan Dua Matriks Contoh:

Penjumlahan Dua Matriks Contoh:

Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks Misalkan A, B, C, dan O adalah matriks-matriks yang berordo sama, maka dalam penjumlahan matriks: 1. Bersifat komutatif : A + B = B + A 2. Bersifat asosiatif : (A + B) + C = A + (B + C) 3. Terdapat sebuah matriks identitas, yaitu matriks O yang bersifat: A + O = O + A = A 4. Semua matriks A mempunyai lawan atau negatif –A yang A + (–A) = O Matriks –A disebut invers aditif atau invers penjumlahan bagi matriks A.

Pengurangan Dua Matriks atau

Contoh:

Perkalian suatu Bilangan Real Terhadap Matriks Contoh:

Sifat-Sifat:

PERKALIAN DUA MATRIKS

1. Perkalian Matriks Berordo 1 x n terhadap Matriks Berordo n x 1

Contoh:

2. Perkalian Matriks Berordo m x n terhadap Matriks Berordo n x m

Contoh:

3. Perkalian Matriks Berordo m x n terhadap Matriks Berordo n x p

Sifat-Sifat Perkalian Dua Matriks

INVERS MATRIKS

Contoh: Berdasarkan hasil perhitungan di atas, jelas bahwa berlaku hubungan AB = BA = I. Jadi, matriks A dan matriks B adalah dua matriks yang saling invers.

Determinan Matriks Persegi Berordo 2x2 Notasi

Menentukan Invers Matriks

Algoritma Menentukan Invers Matriks

Sifat Invers dari Perkalian Matriks Dua Persegi Berordo 2

Sifat Transpos Suatu Matriks Persegi Berordo 2

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel Langkah-langkah penyelesaian: Langkah 1 Nyatakan SPLDV itu dalam bentuk persamaan matriks. Langkah 2 Tentukan matriks koefisiennya. Langkah 3 Tentukan invers dari matriks koefisiennya. Langkah 4 Kalikan matriks yang diperoleh pada Langkah 1 dengan invers matriks koefisiennya. Langkah 5 Tetapkan nilai x dan nilai y dengan mengacu pada persamaan matriks yang diperoleh pada Langkah 4.

Contoh: Tentukan penyelesaian SPLDV di bawah ini dengan menggunakan metode invers matriks. Jawab: Langkah 1 Langkah 2 Langkah 3

Langkah 4 Langkah 5 Jadi, penyelesaian dari SPLDV adalah x = –2 dan y = 5 atau himpunan penyelesaiannya adalah {(–2, 5)}.

Hubungan Determinan dengan Banyaknya Penyelesaian Suatu SPLDV