ILMU KOM PUTER PRODI ILKOMP UGM GP DALIYO Daliyo

Logika Proposisional [Aplikasi] Pengenalan Piranti yang dikendalikan secara mekanis maupun elektrika/elektroni ka dapat diklasifikasi berdasarkan operasinya, menjadi : a). Digital lihat mata b). Analog kuliah TI Dalam peranti analog beberapa kuantitas internal adl proporsional dng suatu nilai numerik dimana ia mewakili. Misal jarum dp suatu spedometer secara mekanis bergerak proporsional dengan kecepatan dp mobil. Dalam suatu sistem digital, kuantitas direpresentasikan oleh pencatat numerik dapat bergerak hanya dalam langkah-langkah digital.

Logika Proposisional [Aplikasi] Pengenalan Pada peranti modern sekarang (era digital) penyimpanan dan pemro sesan data atau pun informasi dilakukan secara digital dlm bentuk ele ktronika, dan jika dikeluarkan dikonversikan ke representasi numerik sehingga diperlukan pengkonversi Digital to Analog (D-to-A). Sebaliknya dari peranti masukkan yang semula berbentuk analog ha rus dikonversikan ke digital, agar dpt disimpan ataupun diproses oleh peranti modern, dng menggunakan peranti pengkonversi yg disebut dng Analog to Digital (A-to-D).

Logika Proposisional [Aplikasi] Pengenalan Komputer dan alat elektronika digital yang lain bekerja dengan seti ap titik internal yang merepresentasikan suatu nilai dalam satu dari dua status, misalnya 0 volt atau +5 volt. Karena suatu cara elektroni ka yang termudah untuk mengkonstruksikan suatu mekanisme, semu a kalkulasi numerika dikonversikan ke problem dua status, yang jelas merupakan teknik penyajian yang berbasis pada perhitungan binair.

Logika Proposisional [Aplikasi] Pengenalan Jika diinginkan untk membangun model matematis dp suatu me kanisma, semua variabel dalam model harus mengambil satu dari dua nilai. Oleh karena itu prinsip dp operasi dpt dilakukan dan atau dipre diksi dengan menggunakan model yang berbasis pada logika proposi sional. Dua nilai dpt disajikan dengan status F ( 0 volt) dan T (5 volt).

Logika Proposisional [Aplikasi] Pengenalan Jika dipilih untuk representasi, misalnya, T oleh 0 volt, dan F oleh +5 volt, suatu sirkuit dengan masukan dan keluaran dapat dimodel kan oleh suatu formula tertentu. Jika sebaliknya sajian T oleh +5 volt dan F oleh 0 volt maka didapat dual daripada sajian diatas sehingga hasilnya tetap sama (sirkuitnya sama) Oleh karena itu maka disini akan menjelaskan aplikasi PL ke dalam bentuk untaian elektronika.

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Daliyo Daliyo Pengenalan Notasi Teks pada hardware komputer cenderung menggunakan simbol-simbol sebagai berikut : a). Operator :  diganti dengan .  diganti dengan +  diganti dengan ‘ b). Tetapan : F diganti dengan 0 T diganti dengan 1 (lihat aljabar Boole) Dengan demikian maka semua fungsi sistem elektronika dapat di”model”kan dengan fungsi logis (formula/fungsi/kalimat).

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Pengenalan Sebarang formula logis dapat dikonstruksi dari kotak hitam yang merepresentasikan komponen daripada formula/fungsi/kalimat logis Kotak hitam boleh menggunakan sebarang teknologi yg cocok untuk menyajikan aktivitas mereka dan boleh dibuat secara mekano (murni mekanis), relays ( cetetan yg dikendalikan oleh elketromag net), transistor atau katup (valves) (komponen elektronika, dengan dasar digital dan bukan analog), IC (banyak komponen elektronika dalam satu chip silicon) Kepentingan kita sekarang adl membangkitkan suatu mekanisma dengan menggunakan teknologi apa saja yang penting dapat melaksa nakan suatu fungsi yang diberikan. Biasanya fungsi yg dimaksudkan dispesifikasikan dengan tabel kebenaran.

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Fungsi daripada peralatan (tak peduli teknologi apa yg digunakan) dispesifikasikan sebagai tabel kebenaran dan bukan sebagai formula khusus. Misalnya kotak hitam : p  q = p (qq) (tunjukan !!) Ingat  adl NAND p (qq) p  q pq   p q 

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Perlu disini diberikan definisi yang diambilkan dari buku-buku lain yang berorientasi pada aplikasi : Terminologi Literal Product term Sum term Normal term Definisi Variabel atau negasinya/komplemennya (mis. p dan p’, atau p dan p) Deretan drpd literal yang digandengkan dng konjungsi (mis. p.q.r’) dng disjungsi (mis. p+q+r’) Product term atau Sum term dimana tak ada variabel yg muncul lebih dari sekali Sinonim Konjung an Disjung

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Daliyo Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Produk a). Produk Kanonika (Canonic Product) atau produk baku (Sandard Product) atau Minterm : Hasilkali/konjungsi daripada literal-literal b). SOP (Sum Of Product) atau Jumlahan Hasil-Kali atau Disjunc tive Normal Form (DNF) atau Bentuk Normal Disjungtif (BND) : Jum lahan /disjungsi dp minterm/produk baku. c). Jumlahan Kanonik dp Produk (Canonic sum of Product atau Full Disjunctive Normal Form (FDNF) atau Bentuk Normal Disjungtif Penuh (BNDP) atau Standard Sum of Product (SSOP) Daliyo Perlu disini diberikan definisi yang diambilkan dari buku-buku lain yang berorientasi pada aplikasi (Produk) :

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Daliyo a). Jumlahan Kanonika (Canonic Product) atau Jumlahan baku (Standard Sum) atau Maxterm : Jumlahan/disnjungsi daripada literal-literal b). POS (Product Of Sum) atau Hasil-Kali Jumlahan atau Conjunc tive Normal Form (CNF) atau Bentuk Normal Konjungtif (BNK) : Hasil-kali/konjungsi dp maxterm/jumlahan baku. c). Hasil-kali Kanonika dp Jumlahan (Canonic product of Sum atau Full Konctive Normal Form (FKNF) atau Bentuk Normal Konjungtif Penuh (BNKP) atau Standard Product of Sum (SPOS) Perlu disini diberikan definisi yang diambilkan dari buku-buku lain yang berorientasi pada aplikasi (Jumlahan): Jumlahan

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Daliyo  p q pq  Untaian formula p→q adalah : atau Daliyo

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Daliyo Daliyo Perhatikan : 1). Ia fungsi dengan 4 masukkan 2). Ia berarti : Jika qr maka p lainnya s p q r s ? [p,qr,s] (qr) = ((qr)(qr)) = ((qr)((qr))) Jadi hanya menggunakan kotak hitam :    , dan , ,  isinya Daliyo Bagaimana untuk fungsi : [p,qr,s] ( if q  r then p else s )

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Bagaimana untuk fungsi : q  r Daliyo Perhatikan bahwa : q  r dapat diganti dengan (q  r)  (q  r) sehingga cukup dengan kotak , dan saja    q r qr   Daliyo

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Penyederhanaan/Simplifikasi Simplifikasi 1). Desain daripada mesin elektronika untuk melaksanakan fungsi lo gis yg diberikan, maka dicari formula yg paling sederhana/murah untuk menyajikan/merepresentasikan formula tersebut. 2). Sebarang tabel kebenaran dapat diekspresikan sebagai suatu formu la BND (bentuk normal disjungsi), tetapi jika bentuk tsb diimpleme ntasikan langsung mungkin akan menggunakan komponen-kompo nen yang banyak sehingga menjadi kompleks/mahal. 3). Oleh sebab itu perlu disederhanakan dengan menggunakan satu o perator / atau menggunakan 2 atau 3 operator seperti yang ada da lam himpunan operator lengkap.

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Gerbang AND menghasilkan 1 (tinggi) untuk semua keadaan : and x = 0 y = 0 z = x’y’ x = 1 y = 1 Z = xy z = x’y z = xy’ Daliyo

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Daliyo Daliyo Simbol Logika baku dari IEEE Daliyo A A B AB & AB B A A B AB 1 AB B A A B AB & AB B A A B AB 1 AB B A A B A+B =1 A+B B 1 A A A A

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo and 1 u = xy’ z = x’y Jika diinginkan keluaran suatu rangkaian logis adl suatu hasil tertentu maka dng tabel kebenaran dpt diturunkan hasilnya; Contoh : diinginkan rangkaian logis dng keluaran sbb : x y z z = xy 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 or v = z+u = x’y + xy’ Daliyo Yang diambil z = xy yang bernilai 1 (ingat MINTERM) Negasikan Tidk Negasikan Tidk Negasikan Negasikan Di OR kan

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Contoh sederhana Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Diberikan tabel kebenaran : p 1 q r fungsi Didapat : f(p,q,r) =df p.q.r + p.q.r’+p’.q.r+p’.q’.r Aturan : 1). Untuk BND 2). Ambil yang fungsinya bernilai 1 3). Jika varibelnya bernilai 1 tetap (tidak dinegasikan), jika berni lai 0 variabelnya dinegasikan (‘) Daliyo

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Implementasi : f(p,q,r) =df p.q.r + p.q.r’+p’.q.r+p’.q’.r Menggunakan 4 kotak negasi 8 kotak konjungsi dan 3 kotak disjungsi . ‘ p q r + f(p,q,r) Daliyo

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Logika Proposisional [Aplikasi] Implementasi : f(p,q,r) =df p.q.r + p.q.r’+p’.q.r +p’.q’.r Menggunakan 3 kotak negasi 8 kotak konjungsi dan 3 kotak disjungsi dn p.q muncul 2 kali . ‘ p q r + f(p,q,r) Daliyo

Logika Proposisional [Aplikasi] Implementasi : f(p,q,r) =df p.q.r + p.q.r’+p’.q.r +p’.q’.r Menggunakan 3 kotak negasi 8 kotak konjungsi dan 3 kotak disjungsi dn p.q muncul 2 kali . ‘ p q r + f(p,q,r) Daliyo

Logika Proposisional [Aplikasi] Daliyo Implementasi : f(p,q,r) =df p.q.r + p.q.r’+p’.q.r+p’.q’.r =df (p.q).(r + r’)+(p’.r).(q+q’) =df (p.q).1 + (p’.r).1 =df (p.q) + (p’.r) Hanya menggnakan 1 kotak disjungsi, 2 kotak konjungsi, dan 1 kotan negasi + ‘ p q r f(p,q,r) Daliyo

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Peta Karnaugh Peta Karnaugh (Karno) : suatu metode grafis atau piranti piktorial untk menyederhanakan formula dalam bentuk BNDP, dan cocok hanya untk fungsi BNDP sederhana yaitu sampai dengan 4 variabel. Untuk yg lebih dari 4 variabel digunakan metode minimisasi Quine-McClusky. Pada peta Karnaugh, setiap konjungan (konjungsi dari pada literal-lite ral; mis. p.q.r, p.q’, dst) disajikan dengan bujur-sangkar. Dikatakan dua konjungan P dan Q bersanding/adjacent jika mereka berbeda dalam te pat satu literal yang harus merupakan variabel yg dikomplemenkan di konjungan yg satu (P) serta diunkomplemenkan di konjungan yg lain (Q), jadi variabel tersebut saling kompelemen. Dengan demikian disjun gsi dripada dua konjungan yang bersisihan akan merupakan suatu konj ungan dengan satu literal kurangnya dng konjungan yg didisjungsikan.

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Pada peta Karnaugh, konjungan- konjungan ( istilah pada buku Schaum’s outline Series, Seymour Lipschutz, Ph.D. hal 194 : hasilkali fundamental) daripada variable-variabel yang sa ma disajikan dengan bujur-sangkar. Dua perkalian funda mental (konjungan) P1 dan P2 dikatakan bersanding jika P1 dan P2 berbeda tepat satu literal, yang harus merupakan su atu variable terkomplemenkan dalam satu konjungan dan tak-terkomplemenkan pada konjungan yang lain; mis. P1 = x.y.z’ , P2 = x.y’.z’. Jadi jumlahan/disjungsi dari dua konju ngan/hasilkali foundamental yang bersanding akan meru pakan suatu hasil-kali fundamental dengan literal berku rang satu Contoh : x.y.z’ + x.y’.z’ = x.z’.(y + y’) = x.z’.(1)=x.z’ x’.y.z.t + x’.y.z’.t = x’.y.t.(z + z’) =x’.y.t.(1)=x’.y.t Daliyo

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Sebagai contoh : Konjungan yang bersanding/adjacent 1). p.q.r’ dan p.q.r , karena p.q.r’ + p.q.r = p.q.(r’ + r ) = p.q 2). p.q.r’ dan p.q’.r’ , akrena p.q.r’ + p.q’.r’ = p.r’.(q + q’) = p.r’ 3). p’.q.r.s dan p’.q.r’.s , karena p’.q.r.s + p’.q.r’.s = p’.q.s.(r + r’) = p’.q.s Konjungan yang tak bersanding/ not adjacent 1). p’.q.r.s dan p.q.r’.s , karena ada dua p’ dan p, serta r dan r’ 2). x.y.z’ dan x.y.z.t , tidak bersanding bahkan tidak dalam peta Karnaugh yang sama (tidak se-peta) Pada peta Karnaugh digunakan “bujur-sangkar” dan konjungan bergantian.

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Kasus 2 variabel Daliyo Daliyo Peta Karnaugh yang berkaitan dengan formula F(p,q) diga mbarkan sebagai berikut : p p’ q q’ p.q p’.q p.q’ p’.q’

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Sebarang bentuk BNDP, F(p,q) disajikan dengan peta Karnaugh dng menempatkan tick () pada bujur-sangkar yg sesuai. Contoh : P = p.q + p.q’ ; Q = p.q + p’.q + p’.q’ ; R = p.q + p’.q’ Dari peta Karnaugh didapat BND yang paling sederhana (prime imp licant) adalah P = p ; Q = p’ + q ; R = p.q + p’.q’ Kasus 2 variabel  p p’ q q’ P Q R Daliyo

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Kasus 2 variabel p 1 q Fungsi F  1 0 p F(p,q) = pq + p’q’ x 1 y Fungsi Q s 1 t Fungsi R Daliyo Daliyo 1 0 x 1 0 s    1 y 1 t   Q(x,y) = x + y R(s,t) = st’ + s’t Daliyo Daliyo

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Kasus 3 variabel Peta Karnaugh yang berkaitan dengan formula F(p,q,r) digambarkan sebagai berikut : Terdapat 8 konjungan/hasil-kali foundamental yaitu : p.q.r ; p.q.r’ ; p.q’.r ; p.q’.r’ ; p’.q.r ; p’.q.r’ ; p’.q’.r ; p’.q’.r’ r r’ p p p’ p’ q q’ q’ q p p p’ p’ q q’ q’ q p p p’ p’ q q’ q’ q p p p’ p’ q q’ q’ q r r’ r r‘ r r‘ p diarsir p’q p q p’q’ p q’ q diarsir r diarsir r r’ Perhatikan : 1 bjr-skr  3 literal 2 bjr-skr bersanding  2 literal 4 bjr-skr bersanding  1 literal

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Kasus 3 variabel Daliyo Contoh : E = xyz +xyz’ + x’yz’ +x’y’z F = pqr + pqr’ + pq’r + p’qr + p’q’r G = uvw + uvw’ + u’vw’ +u’v’w’ + u’v’w  x y z z’ y’ x’ E = xy + yz’ + x’y’z p q p q’ p’ q’ p’ q     u v u v’ u’ v’ u’ v r r’    w w’    F = p.q + r G = uv + u’v’ + u’w’ = uv + u’v’ + v w’

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Kasus 3 variabel Daliyo Daliyo Daliyo Bagaiman jika fungsinya ditentukan dalam bentuk tabel kebenaran ? Misalnya : p 1 q r F Digambarkan sebagai berikut : 1 p q r Jadi fungsinya F = p.q + p’.r Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Kasus 3 variabel Daliyo Daliyo Digambarkan sebagai berikut : p 1 q r F 1 p q r Jadi fungsinya F = q + p’.r Daliyo