BAB III PENERAPAN TURUNAN

3.1 MAKSIMUM-MINIMUM FUNGSI DEFINISI Andaikan S daerah asal f memuat titik c, maka f (c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S f (c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S f (c) adalah nilai ekstrim f pada S jika sebagai nilai maksimum atau nilai minimum Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013 TEOREMA EKSISTENSI MAKS-MIN Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum. Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013 TEOREMA TITIK KRITIS Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu: titik ujung dari I titik stasioner dari f (f’(c)=0) titik singular dari f (f’(c)tidak ada) Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013 CONTOH SOAL Tentukan nilai kritis, maksimum dan minimum dari f(x) = -2x3+3x2 pada [-½,2]! solusi: Titik Kritis titik ujung  -½ dan 2 titik stasioner  f’(c)=0 -6x2+6x = 0 x(-6x+6) = 0 x1=0, x2=1 Jadi titik kritisnya adalah -½, 0, 1, 2 Nilai Maksimum dan Minimum f (-½) = 1 f (0) = 0 f (1) = 1 f (2) = -4 Jadi nilai maksimum adalah 1 dan nilai minimum -4 Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013 SOAL Tentukan nilai kritis, maksimum, dan minimum dari: f(x) = -x2 + 4x -1 ; I = [0,3] f(x) = x2 + 3x ; I = [-2,1] f(x) = 1/5(2x3 + 3x2 -12x) ; I = [-3,3] f(x) = 1/(1+x2) ; I = [-2,1] f(x) = x/(x2+2) ; I = [-1,4] Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013

3.2 KEMONOTONAN & KECEKUNGAN TEOREMA KEMONOTONAN Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dari I Jika f’ (x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik Jika f’ (x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013 TEOREMA KECEKUNGAN Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b) Jika f ” (x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas Jika f ” (x) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013 CONTOH SOAL Dimana f(x) = -2x3+3x2 naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah? solusi: Fungsi Naik Turun f naik  [0,1] atau 0 ≤ x ≤ 1 f turun  (-∞,0] dan [1,∞) atau x ≤ 0 dan x ≥ 1 Cekung Ke Atas Ke Bawah cekung ke atas  (-∞,1/2) atau x < 1/2 cekung ke bawah  (1/2, ∞) atau x > 1/2 Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013 SOAL Dimana fungsi berikut naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah? f(x) = x3 - 3x – 1 f(x) = 3x4 - 4x3 + 2 f(x) = 3x5 - 5x3 + 1 f(x) = x2/3 (1-x) Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013

3.3 TEOREMA NILAI RATA-RATA Andaikan f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdiferensial pada titik-titik dari (a,b) maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana: atau Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013 CONTOH SOAL Tentukan bilangan c yang sesuai dengan teorema Nilai Rata- Rata untuk f(x) = 2√x pada [1,4] solusi: a = 1 dan b = 4 Teorema Nilai Rata-Rata Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013 SOAL Tentukan bilangan c untuk fungsi berikut yang sesuai denganteorema Nilai Rata-Rata: f(x) = x2 + 2x ; [-2,2] f(x) = (x3/3) ; [-2,2] f(x) = x2/3 ; [0,2] Dien Novita, STMIK GI MDP, 2013