Konsep Dasar Matematika II BARISAN DAN DERET

Kelompok 3 : Soffy Matdyani (292013105) Carina Dewi (292013116) Fivi Nuraini (292013122) Sara Puspitaning Tyas (292013124) Ari Setiawati (292013127) Leni Lestari (292013128) Anggun Tri Andari (292013131)

Yang akan kita pelajari : Definisi Rumus Suku ke-n Barisan aritmatika Rumus Jumlah suku ke-n Deret aritmatika Aplikasi dalam kehidupan sehari-hari Definisi Rumus Suku ke-n Barisan geometri Rumus Jumlah suku ke-n Deret geometri Aplikasi dalam kehidupan sehari-hari

BARISAN Definisi Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya.

Contoh barisan bilangan : Susunan bilangan asli : 1, 2, 3, 4, ..., n, ... • Susunan bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, ..., 2n–1, ... • Susunan bilangan genap: 2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... • Susunan bilangan kelipatan tiga: 3, 6, 9, 12, ..., 3n, ...

DERET Definisi Misalkan U1, U2, U3,.....,Un merupakan suku-suku suatu barisan. Jumlah beruntun dari suku-suku barisan itu dinamakan sebagai deret dan dituliskan sebagai U1 + U2 + U3 + ... +Un

Contoh Deret Bilangan Diketahui barisan bilangan 1, 2, 3, 4, ... Maka deret dari barisan bilangan tersebut adalah 1 + 2 + 3 + 4 + ....

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

BARISAN ARITMETIKA

Mari Amati ! Di suatu counter pulsa, dijual berbagai macam kartu perdana dan voucher pulsa dengan harga beragam. Jika Heru membeli sebuah kartu perdana maka dikenakan harga Rp12.000,00, jika Heru membeli dua kartu perdana maka dikenakan harga Rp20.000,00. Jika Heru membeli tiga kartu perdana, dikenakan harga Rp28.000,00. Begitu seterusnya, setiap penambahan pembelian satu kartuperdana, harga pembelian bertambah Rp8.000,00.

Apabila harga pembelian kartu perdana tersebut disusun dalam suatu bilangan maka terbentuk barisan berikut (dalam ribuan), yaitu 12, 20, 28, 36, 44, dan seterusnya.

Dari contoh tersebut, kita dapat melihat bahwa setiap dua suku yang berurutan memiliki beda yang tetap. Barisan yang memiliki beda yang tetap dinamakan barisan aritmetika.

Definisi Barisan Aritmetika Suatu barisan dikatakan sebagai barisan aritmetika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bilangan (selisih) tetap tersebut disebut sebagai beda (b).

Soal: Di antara barisan-barisan bilangan berikut, tentukan manakah yang merupakan barisan aritmetika. a. 1, 4, 7, 10, ... b. 3, 6, 12, 24, ... c. 44. 41, 38, 35, ...

Ciri barisan aritmatika adalah beda tetap. jawab Ingat! a. 1, 4, 7, 10, ... b=4-1=7-4=10-7=3, barisan aritmatika b. 3, 6, 12, 24, ... bukan barisan aritmatika c. 44, 41, 38, 35, ... barisan aritmatika Ciri barisan aritmatika adalah beda tetap.

Rumus suku ke–n dari suatu Barisan Aritmetika Misalkan terdapat suatu barisan aritmetika U1, U2 ..., Un maka rumus umum suku ke-n adalah Un = suku ke-n n = banyak suku a = suku pertama b = beda antar suku yang berdekatan Un = a + (n – 1)b

Penurunan rumus Un

Contoh soal: Diketahui barisan aritmetika 7, 11, 15, 19, ... Tentukan rumus suku ke–n dari barisan tersebut. Tentukan suku ke–11 dari barisan tersebut.

Jawab Diketahui barisan aritmetika : 7, 11, 15, 19, ... suku pertama a = 7 beda barisan b = 11 – 7 = 15 – 11 = 19 – 15 = 4. Dengan demikian, suku ke–n dari barisan tersebut adalah Un = a + ( n – 1) b Un = 7 + ( n – 1) 4 Un = 4n + 3 Jadi, rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah Un = 4n + 3

b. Berdasarkan jawaban a, diperoleh Un = 4n + 3. Ditanya : U11 b. Berdasarkan jawaban a, diperoleh Un = 4n + 3. Ditanya : U11? Un = 4n + 3 U11 = 4 (11) + 3 = 44 + 3 = 47 Jadi, suku ke–11 dari barisan tersebut adalah 47.

Deret Aritmetika

Definisi Misalkan U1, U2, ...,Un adalah barisan aritmetika maka penjumlahan U1 + U2 + ... + Un adalah deret aritmetika.

contoh Jika terdapat barisan aritmetika 2, 5, 8, 11,... kemudian setiap suku dalam barisan aritmetika tersebut dijumlahkan. Maka akan diperoleh deret aritmetika 2 + 5 + 8 + 11 + ....

Rumus Jumlah n Suku Pertama dari Deret Aritmetika Misalkan Sn = U1 + U2 + ... + Un merupakan deret aritmetika dengan suku pertama a dan beda b. Maka jumlah n suku pertama dari deret aritmatika adalah : atau

Sn = Jumlah suku ke-n n = banyak suku a = suku pertama b = beda

Contoh soal : Diketahui deret aritmetika 6+17+28+ 39+ ... Tentukan : a. Rumus jumlah n suku pertama! b. Jumlah 10 suku pertamanya!

Jawab 6+17+28+ 39+ ... Diketahui : a = 6 b = 17-6 = 28 – 17 =11 Ditanyakan : Sn?

b. Diketahui = Ditanya = S10?

Aplikasi Barisan dan Deret Aritmatika Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang bisa diselesaikan dengan menggunakan konsep barisan dan deret aritmetika. Dalam menyelesaikan suatu masalah yang ada dalam keseharian kita, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengubah masalah nyata tersebut ke dalam model matematika, setelah itu dicari solusinya.

Contoh soal: Ayah membagikan uang sebesar Rp100.000,00 kepada 5 orang anaknya. Semakin muda usia anak maka semakin kecil jumlah uang yang diterima anak. Jika selisih uang yang diterima oleh setiap dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp5.000,00 dan anak sulung menerima uang paling banyak maka tentukan jumlah uang yang diterima anak ke–4.

Jawab : Diketahui : S5 = 100.000 , b = 5.000 Ditanya : U4? Penyelesaian :

Jumlah uang yang diterima anak ke-4

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

BARISAN GEOMETRI

Definisi Misalkan U1, U2, ...,Un adalah suatu barisan bilangan. Barisan bilangan tersebut dikatakan sebagai barisan geometri apabila memenuhi Dengan r = rasio atau pembanding

Buktikan bahwa barisan berikut adalah barisan geometri! 2, 4, 8, 16,... 81, 27, 9, 3,...

2, 4, 8, 16,... 81, 27, 9, 3,... r tetap sehingga barisan tersebut termasuk barisan geometri r tetap sehingga barisan tersebut termasuk barisan geometri

Rumus Suku ke–n Barisan Geometri Misalkan terdapat suatu barisan geometri U1, U2, ...,Un Maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertamanya a dan rasionya r adalah

Penurunan rumus Un

Contoh soal Diketahui barisan geometri 2, 8, 32, .... Tentukan: a. suku pertama dan rasionya! b. rumus suku ke–n! c. U5 !

jawab U1= a = 2 barisan geometri 2, 8, 32, .... Ditanyakan : suku pertama (a)? rasio (r) ? Jawab : U1= a = 2

b. Diketahui : a = 2 , r = 4 Ditanya : Un ? Jawab :

c. Diketahui : Ditanya : U5? Jawab :

DERET GEOMETRI

Definisi Misalkan U1, U2, ...,Un adalah barisan geometri maka pemjumlahan U1 + U2+ ... + Un adalah deret geometri.

Rumus Jumlah n Suku Pertama dari Deret Geometri C Sn = Jumlah n suku pertama deret geometri a = suku pertama r = rasio atau pembanding atau

contoh soal : Diketahui deret 4 + 12 + 36 + 108 .... Tentukan: a. rumus jumlah n suku pertama (Sn)! b. jumlah 7 suku pertamanya (S7)!

jawab deret 4 + 12 + 36 + 108 .... Sn? Diketahui : a = 4 ,

b. Diketahui = S7?

DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Definisi Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang banyak sukunya tak hingga.

Kita telah mengetahui bahwa untuk menentukan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri digunakan rumus: Oleh karena yang dipelajari adalah deret geometri tak hingga maka akan ditinjau setiap nilai dari r untuk .

a. Untuk r > 1 atau r < –1 Oleh karena r > 1 atau r < –1 maka nilai rn akan semakin besar jika n makin besar. Dalam hal ini: Untuk r > 1 dan maka . Untuk r < –1 dan maka .

Sehingga diperoleh :

Deret geometri tak hingga dengan r > 1 atau r < –1 disebut deret divergen (menyebar) karena deret ini tidak memiliki kecenderungan pada suatu nilai tertentu. Oleh karena itu, deret ini tidak memiliki limit jumlah.

b. Untuk –1 < r < 1 Oleh karena –1 < r < 1 maka nilai rn akan semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini untuk maka Sehingga diperoleh :

Deret geometri tak hingga dengan –1 < r < 1 disebut deret konvergen. Deret ini memiliki kecenderungan pada suatu nilai tertentu. Oleh karena itu, deret ini memiliki limit jumlah.

Contoh soal : Tentukan jumlah deret geometri tak hingga berikut.

Jawab: Diketahui : Ditanya : Sn ? Jadi, jumlah deret geometri tersebut adalah 3.

Barisan dan Deret Geometri Aplikasi Barisan dan Deret Geometri

Akibat adanya wabah flu burung, seorang peternak ayam mengalami kerugian. Setiap dua puluh hari, jumlah ayamnya berkurang menjadi setengah. Jika setelah 2 bulan jumlah ayam yang tersisa tinggal 200 ekor,berapakah jumlah ayam semula yang dimiliki peternak tersebut?

Jawab : Masalah tersebut merupakan aplikasi dari barisan geometri Diketahui : Un = 200

Jadi, jumlah ayam yang dimiliki peternak tersebut adalah 800 ekor. Ditanyakan : jumlah ayam semula (a)? Berdasarkan konsep barisan geometri, diperoleh : W Jadi, jumlah ayam yang dimiliki peternak tersebut adalah 800 ekor.

Peta Konsep

SEKIAN DAN TERIMA KASIH