BAB VII INTEGRAL TAK TENTU

7.1 Anti turunan dan integral tak tentu Pada bab terdahulu kita telah membahas turunan dari suatu fungsi, yaitu jika dikatahui f(x) maka proses differensiasi dari f(x) akan menghasilkan turunan f(x) dan ditulis dengan f’(x). Pada bab ini kita akan membahas kebalikan dari proses differensiasi atau lebih dikenal dengan proses integrasi . Jika pada proses differensiasi menghasilkan turunan maka pada proses integrasi akan menghasilkan anti turunan. Misal diketahui fungsi f maka proses integrasi adalah proses menentukan F(x) sedemikian rupa sehingga F’(x) = f(x). F(x) dinamakan anti turunan dari f(x).

Sebagai contoh F(x) = x3 adalah anti turunan f(x) = 3x2 , karena , Akan tetapi masih terdapat banyak anti turunan dari x3, seperti x3 + 1, x3 + , x3 – e dll. Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap (x3 + bilangan konstan) merupakan anti turunan ( disebut juga primitif ) dari 3x2. Jika bilangan konstan kita lambangkan dengan C maka anti turunan dari 3x2 adalah x3 + C. Proses untuk menentukan anti turunan dari f(x) disebut proses integrasi dan ditulis dalam bentuk,

Simbol “∫” disebut tanda integral dan persamaan 7.1 dibaca “integral tak tentu dari f(x) terhadap x adalah F(x) ditambah bilangan konstan”. f(x) adalah integran, F(x) + C adalah anti turunan dari f(x), C adalah konstanta integrasi, sedangkan faktor dx menunjukkan bahwa peubah integrasi adalah x. 7.2 Rumus-rumus integral tak tentu

V. Rumus-rumus teknis Berikut diberikan rumus-rumus teknik integral yang bersifat standar dan dapat dipakai langsung untuk menentukan anti turunan (primitif) dari suatu fungsi.

Contoh 7.1 Selesaikan Penyelesaian

Contoh 7.2 Penyelesaian Contoh 7.3

7.3 Integrasi dengan substitusi Rumus-rumus integral tak tentu yang telah dijelaskan pada pasal 7.2 hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral- integral dari fungsi yang sederhana saja. Sehingga tidak dapat digunakan untuk mengevaluasi integral seperti ∫ dx atau ∫sin3x dx. Pada pasal ini kita akan menggunakan metode untuk mngubah variabel dari integran agar menjadi bentuk standar. Dari rumus terdahulu telah diketahui bahwa, Jika h(x) adalah fungsi komposisi Fo g maka h(x) = F(g(x)). Sehingga,

(*) Jika u = g(x)  du = g’(x)dx (**) Substitusi (*) ke (**) didapat,

Contoh 7.4 Penyelesaian Misal u = 1–2x  du = –2 dx Contoh 7.5 Penyelesaian

Misal u = x2 – 1  du = 2x dx 7.4 Integrasi bagian demi bagian (Integration by parts) Dalam mengevaluasi integral sering kali kita menjumpai integran dalam bentuk perkalian fungsi-fungsi. Salah satu teknik untuk mengevalusai integral tersebut adalah dengan menggunakan teknik integrasi bagian demi bagian atau sering juga digunakan istilah integral parsial. Pada saat kita mempelajari turunan, kita telah mengetahui bahwa,

Misal u = g(x) dan v = h(x) Persamaan 7.3 digunakan untuk menyelesaikan integral bagian demi bagian atau integral parsial. Dalam membuat permisalan u, biasanya kita tentukan prioritas- prioritas agar penyelesaian menjadi lebih sederhana. Prioritas tersebut adalah sebagai berikut. i) ln x ii) xn  n = bilangan bulat positif iii) ekx

Contoh 7.6 Penyelesaian Misal u = x  du = dx v = ex  dv = ex Contoh 7.7 Penyelesaian Misal u = ln2x dv= (x-1)dx

Contoh 7.8 Penyelesaian Misal u = x2 dv = sinx dx du = 2x dx v = –cosx

Misal u = 2x dv = cosx dx du = 2 dx v= sin x = 2x sinx + 2 cosx +C (**)

Substitusi (**) ke (*) didapat Contoh 7.9 Penyelesaian : Misal u = ex dv = cosx dx du = ex dx v = sinx

Misal u = ex dv = sinx dx du = ex dx v = –cos x Substitusi (**) ke (*) didapat,

7.5. Integrasi fungsi pecah Fungsi pecah adalah fungsi rasional yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x), dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomial dan Q(x)  0. Dalam bentuk rumus fungsi pecah dapat ditulis dalam bentuk,

Jika ∫f(x)dx tidak dapat diselesaikan dengan metode substitusi, maka gunakan metode pecahan parsial. Langkah-langkah yang dapat digunakan adalah sebagai berikut: 1. Periksa derajad P(x) dan Q(x). Jika derajad P(x) lebih besar dari derajad Q(x) maka cari hasil bagi P(x)/Q(x). Jika derajad P(x) lebih kecil dari Q(x) maka langsung ke nomor 2. 2. Faktorkan Q(x) a. Untuk faktor axn pecahan parsialnya ditulis dalam bentuk, b. Untuk faktor (ax+b)n pecahan parsialnya adalah,

c. Untuk faktor (ax2+bx+c)n pecahan parsialnya adalah, Koeffisien-koeffisien A1 , A2 , A3 , … , An dapat diganti dengan A, B, C dst. Contoh 7.10 Penyelesaian Karena derajad P(x) lebih kecil dari derajad Q(x) maka faktorkan Q(x).

Untuk menentukan nilai A, B, dan C, bandingkan pembilang pada (**) dengan pembilang pada soal, sehingga didapat, A+B+C = 1 –A+2B-3C = 5 –6A = –12 Tiga persamaan tersebut menghasilkan A = 2 ; B = 4/5 ; C = -9/5

Dengan memasukkan harga A, B dan C ke (*) maka didapat, Contoh 7.11 Selesaikan Penyelesaian

Karena derajad P(x) lebih tinggi dari derajad Q(x) maka lakukan pembagian. x3 + 6x2 + 5x – 12 x4 + 7x3 + 12x2 – 10x – 7 x + 1 x4 + 6x3 + 5x2 – 12x x3 + 7x2 + 2x – 7 x2 – 3x + 5

7.6. Integrasi fungsi trigonometri 7.6.1 Integrasi fungsi sinu, cosu, tanu, cotu, secu dan cscu Bukti

Bukti Bukti

Bukti Bukti

Bukti

7.6.2 Integrasi fungsi sinmu dan cosmu Langkah untuk menyelesaikan ∫sinmu du dan∫cosmu du adalah sebagai berikut.

Jika m adalah bilangan bulat positif ganjil yang lebih besar dari satu, maka sinmu ditulis dalam bentuk sinm-1 u sin u Sedangkan cosm u ditulis cosm-1 u cos u. Selanjutnya gunakan identitas trigonometri, sin2u + cos2u = 1 dan metode substitusi 2. Jika m adalah bilangan bulat positif genap yang lebih besar dari dua, maka sinmu ditulis dalam bentuk (sin2 u)m/2 . Sedangkan cosm u ditulis (cos2 u)m/2 . Selanjutnya gunakan identitas trigonometri, Contoh 7.12

Contoh 7.12 Penyelesaian Misal u = cosx  –du = sinx dx

Contoh 7.13 Penyelesaian Misal u = sinx  du = cosx dx

Contoh 7.14 Penyelesaian

Contoh 7.15 Penyelesaian

7.6.3 Integrasi fungsi trigonometri sinmu cosnu Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran sinm u cosnu berikut diberikan langkah- langkah penyelesaian. 1. Jika m adalah bilangan bulat ganjil  3, maka c. Lakukan substitusi u = cosx 2. Jika n adalah bilangan bulat ganjil  3, maka c. Lakukan substitusi u = sinx

3. Jika m dan n adalah bilangan genap  2, maka b. Gunakan identitas trigonometri, Contoh 7.16 Penyelesaian Misal u = cosx  –du = sinx dx

Contoh 7.17 Penyelesaian

7.6.4 Integrasi fungsi trigonometri tanm u secnu Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran tanmu secnu berikut diberikan langkah-langkah penyelesaian 1. Jika m adalah biilangan bulat ganjil 3, maka c) Lakukan substitusi u = sec x

2. Jika n adalah bilangan bulat genap  2, maka : a) tanm x secn x ditulis dalam bentuk tan mx secn-2x sec2x b) Gunakan identitas trigonometri sec2x = tan2x + 1 c) Lakukan substitusi u = tanx Jika m adalah bilangan genap dan n adalah bilangan ganjil, berkemungkinan metode yang digunakan adalah integral parsial Contoh 7.18 Penyelesaian

Misal u = sec x  du = secx tanx dx Jadi 7.7. Integrasi fungsi trigonometri invers

Bukti dw = du  w = u ∫v dw=vw – ∫w dv Gunakan rumus integral parsial Contoh 7.19 Penyelesaian

Bukti dw = du  w = u Gunakan rumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv

Bukti

Bukti Bukti

Bukti

7.8 Integrasi dengan substitusi trigonometri 7.8.1 Integrasi fungsi irrasional Langkah awal untuk menyelesaikan integral fungsi irrasional adalah dengan mengu8bah integran yang berbentuk irrasional menjadi rasional. Biasanya untuk mencapai hal tersebut kita lakukan substitusi trigonometri. Pada pasal ini akan dibahas beberapa fungsi irrasional.

Dari gambar disamping didapat Bukti a x u Dari gambar disamping didapat a sinu = x  a cos u du = dx

Dari gambar disamping didapat (7.17) Bukti x a u Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx

Dari gambar disamping didapat (7.18) x a u Bukti Dari gambar disamping didapat a tanu = x  a sec2u du = dx

Dari gambar disamping didapat (7.19) Bukti x a u Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx

Dari gambar disamping didapat (7.20) Bukti a x u Dari gambar disamping didapat a sinu = x  a cos u du = dx

Dari gambar diatas didapat (7.21) Bukti x a u Dari gambar diatas didapat Misal v = sinu  dv = cosu du

Dari gambar disamping didapat Bukti x a u Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx

Dari gambar diatas didapat, 7.8.2 Integrasi fungsi yang mempunyai bentuk 1/(x2+a2) Bukti x a u a tanu = x  a sec-1u du = dx

Dari pembahasan yang telah diuraiankan diatas dapat disimpulkan bahwa: a) Jika integran mengandung maka substitusi x = a sinu b) Jika integran mengandung maka substitusi x = a tanu c) Jika integran mengandung maka substitusi x = a secu d) Jika integran mengandung maka substitusi x = a tanu a2 + x2

Jika ax2 +bx+c merupakan faktor terkecil dan d(ax2 +bx+c)  (Ax+B)dx, maka Bukti

Misal, du = dx

Substitusi nilai u, m dan n, didapat,

Contoh 7.20 Penyelesaian A = 1 ; B = -2 ; a = 1 ; b = 2 ; c = 5

7.8.4 Integrasi fungsi irrasional yang sejenis Jika integran hanya memuat bentuk irrasional dari satu jenis fungsi, misalnya f(x), maka kita dapat menggunakan substitusi u = , dimana n adalah kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar. Contoh 7.21 Penyelesaian

7.8.5 Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka kita dapat melakukan substitusi sebagai berikut.

Contoh 7.22 Penyelesaian Misal u = x – 3 → du = dx

7.8.6 Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka lakukan substitusi Contoh 7.23 Penyelesaian