Pengintegralan Numerik

Pengantar Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Misalnya dalam termodinamik, model Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda padat.

Dasar Pengintegralan Numerik Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi f(x) x x0 x1 xn-1 xn

Dasar Pengintegralan Numerik Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian. Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.

Dasar Pengintegralan Numerik Formula Newton-Cotes - Berdasarkan pada Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

fn (x) bisa fungsi linear fn (x) bisa fungsi kuadrat

fn (x) bisa juga fungsi kubik atau polinomial yang lebih tinggi

Polinomial dapat didasarkan pada data

Formula Newton-Cotes Aturan Trapesium : Linier Aturan Simpson’s 1/3 : Kuadrat Aturan Simpson’s 3/8 : Kubik Aturan Boole : Orde Empat

Aturan Trapesium Aproksimasi garis lurus (linier) f(x) L(x) x x0 x1

Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan trapesium

Aturan Komposisi Trapesium f(x) x x0 h x1 h x2 h x3 h x4

Aturan Komposisi Trapesium function f = example1(x) % a = 0, b = pi f=x.^2.*sin(2*x);

Aturan Komposisi Trapesium » a=0; b=pi; dx=(b-a)/100; » x=a:dx:b; y=example1(x); » I=trap('example1',a,b,1) I = -3.7970e-015 » I=trap('example1',a,b,2) -1.4239e-015 » I=trap('example1',a,b,4) -3.8758 » I=trap('example1',a,b,8) -4.6785 » I=trap('example1',a,b,16) -4.8712 » I=trap('example1',a,b,32) -4.9189 » I=trap('example1',a,b,64) I = -4.9308 » I=trap('example1',a,b,128) -4.9338 » I=trap('example1',a,b,256) -4.9346 » I=trap('example1',a,b,512) -4.9347 » I=trap('example1',a,b,1024) -4.9348 » Q=quad8('example1',a,b) Q = MATLAB function

n = 2 I = -1.4239 e-15 Exact = -4. 9348

n = 4 I = -3.8758 Eksak = -4. 9348

n = 8 I = -4.6785 Eksak = -4. 9348

n = 16 I = -4.8712 Eksak = -4. 9348

Aturan Komposisi Trapesium Hitung integral dari

Aturan Komposisi Trapesium » x=0:0.04:4; y=example2(x); » x1=0:4:4; y1=example2(x1); » x2=0:2:4; y2=example2(x2); » x3=0:1:4; y3=example2(x3); » x4=0:0.5:4; y4=example2(x4); » H=plot(x,y,x1,y1,'g-*',x2,y2,'r-s',x3,y3,'c-o',x4,y4,'m-d'); » set(H,'LineWidth',3,'MarkerSize',12); » xlabel('x'); ylabel('y'); title('f(x) = x exp(2x)'); » I=trap('example2',0,4,1) I = 2.3848e+004 » I=trap('example2',0,4,2) 1.2142e+004 » I=trap('example2',0,4,4) 7.2888e+003 » I=trap('example2',0,4,8) 5.7648e+003 » I=trap('example2',0,4,16) 5.3559e+003

Aturan Komposisi Trapesium

Aturan Simpson 1/3 Aproksimasi dengan fungsi parabola L(x) f(x) x x0 h

Aturan Simpson 1/3

Aturan Simpson 1/3

Aturan Komposisi Simpson f(x) …... x x0 h x1 h x2 h x3 h x4 xn-2 xn-1 xn

Aturan Komposisi Simpson Hitung integral dari n = 2, h = 2 n = 4, h = 1

Aturan Simpson 3/8 Aproksimasi dengan fungsi kubik L(x) f(x) x x0 h x1

Aturan Simpson 3/8 Error Pemenggalan

Aturan Simpson 3/8 Hitung integral dari Aturan Simpson 1/3

Aturan Komposisi Simpson function I = Simp(f, a, b, n) % integral of f using composite Simpson rule % n must be even h = (b - a)/n; S = feval(f,a); for i = 1 : 2 : n-1 x(i) = a + h*i; S = S + 4*feval(f, x(i)); end for i = 2 : 2 : n-2 S = S + 2*feval(f, x(i)); S = S + feval(f, b); I = h*S/3;

Aturan Simpson

Aturan Komposisi Simpson

MATLAB Function: trapz Z = trapz(x,y) » x=[0 1 1.5 2.0 2.5 3.0 3.3 3.6 3.8 3.9 4.0] x = Columns 1 through 7 0 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.3000 Columns 8 through 11 3.6000 3.8000 3.9000 4.0000 » y=x.*exp(2.*x) y = 1.0e+004 * 0 0.0007 0.0030 0.0109 0.0371 0.1210 0.2426 0.4822 0.7593 0.9518 1.1924 » integr = trapz(x,y) integr = 5.3651e+003

Sumber: http://ceprofs.tamu.edu/hchen/cven302/chap16.ppt