Barisan, Deret, Notasi Sigma dan Induksi Matematika Oleh : Imam Toifur, S.Si.

Barisan, Deret, Notasi Sigma dan Induksi Matematika A. Barisan dan Deret Aritmetika B. Barisan dan Deret Geometri C. Notasi Sigma D. Induksi Matematika

B. Barisan dan Deret Geometri 1. Barisan Geometri 2. Sisipan 3. Suku Tengah 4. Deret Geometri 5. Deret Geometri Tak Hingga

4. Deret Geometri (DG) Jika U1,U2,U3,…,Un merupakan suatu barisan geometri, maka U1+U2+U3 +…+ Un disebut deret geometri dan dinotasikan dengan Sn. S1 = U1 = a S2 = U1 + U2 = a + ar S3 = U1 + U2 + U3 = a + ar + ar2 Sn = a + ar + ar2 + … + arn-1

Rumus Deret Geometri ( r < 1 ) Sn = a + ar + ar2 + … + arn-2 + arn-1 (dikalikan r) rSn = ar + ar2 + ar3 + … + arn-1 + arn Sn – rSn = a – arn (1 – r)Sn = a(1 – rn) , untuk r < 1 Sn = a(1 – rn) 1 – r

Rumus Deret Geometri ( r > 1 ) rSn = ar + ar2 + ar3 + … + arn-1 + arn Sn = a + ar + ar2 + … + arn-2 + arn-1 rSn – Sn = arn – a (r – 1)Sn = a(rn – 1) , untuk r > 1 Sn = a(rn – 1) r – 1

Pada deret geometri juga berlaku Un = Sn – Sn - 1

Contoh soal 1 Tentukan jumlah 6 suku pertama deret geometri berikut! 16 + 4 + 1 + …

Penyelesaian DG : 16 + 4 + 1 + … a = 16, r = 4/16 = ¼ Sn = a(1 – rn) 1 – ¼ ¾ = 64 – 1/64 = 1365 3 64

Contoh soal 2 Tiga suku pertama deret geometri jumlahnya 26 dan hasil kalinya adalah 216. Tentukan deret tersebut!

Penyelesaian DG : U1 + U2 + U3 = 26 a + ar + ar2 = 26 ……(1) Substitusi (2) ke (1), diperoleh 6/r + 6 + 6r = 26 (dikalikan r) 6 + 6r + 6r2 = 26r 6r2 – 20r + 6 = 0

(i) untuk r = 1/3  a = 18, diperoleh deret 18 + 6 + 2 lanjutan 6r2 – 20r + 6 = 0 3r2 – 10r + 3 = 0 (3r – 1)(r – 3) = 0 r = 1/3 atau r = 3 (i) untuk r = 1/3  a = 18, diperoleh deret 18 + 6 + 2 (ii) untuk r = 3  a = 2, diperoleh deret 2 + 6 + 18

Latihan soal Diketahui deret geometri dengan U3=18 dan U6=486. Tentukan nilai S5! Dalam sebuah persegi yang panjang sisinya 10 cm dibuat persegi lain yang keempat titik sudutnya terletak di tengah masing-masing sisi persegi begitu seterusnya sampai 6 kali. Hitunglah jumlah luas seluruh persegi yang terbentuk! Tiga bilangan membentuk deret aritmetika. Jika suku tengahnya dikurangi 5, maka terbentuk deret geometri yang jumlahnya 70. Tentukan suku pertama deret tersebut!

Kunci jawaban r = 3, a = 2 dan S5 = 242 a = 100, r = ½, S6 = 1575/8 a = 10 atau a = 40

Selesai Terima kasih

5. Deret Geometri Tak Hingga Sebuah bola dijatuhkan dari pagar setinggi 5 m ke tanah. Bola itu memantul setinggi ¾ dari tinggi sebelumnya, begitu seterusnya. Berapa panjang lintasan bola sampai berhenti?

5. Deret Geometri Tak Hingga (DGTH) Bentuk umum : a + ar + ar2 + … Jenis DGTH : DGTH konvergen untuk |r| < 1, r ≠ 0 DGTH divergen untuk |r| > 1 Sn = a(1 – rn) 1 – r Sn = a(rn – 1) r – 1

Jika banyaknya suku mendekati tak hingga, maka penyelesainnya dengan teorme limit. lim Sn = lim a(1 – rn) = a lim (1 – rn) n→∞ n→∞ 1 – r 1 – r n→∞ untuk |r| < 1, r ≠ 0 lim Sn = lim a(rn – 1n) = a lim (rn – 1) n→∞ n→∞ r – 1 r – 1 n→∞ untuk |r| > 1, tidak dapat ditentukan nilainya. S∞ = a 1 – r

Contoh soal Suku ke-n deret geometri tak hingga = 4-n. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga tersebut! Dalam segitiga sama sisi yang panjang sisinya 6 cm dibuat segitiga sama sisi lain yang titik sudutnya terletak di tengah masing-masing sisi segitiga tersebut begitu seterusnya. Hitung luas seluruh luas segitiga yang terbentuk!

Penyelesaian Un = 4-n a = U1 = 4-1 = ¼ U2 = 4-2 = 1/16 r = U2/U1 = ¼

S∞ = a = 9√3 = 9√3 = 12√3 L Δ1 = ½.62.sin 60o = 18.½√3 = 9√3 cm2 r = ¼.9√3 = ¼ 9√3 S∞ = a = 9√3 = 9√3 = 12√3 1 – r 1 – ¼ ¾

Latihan Soal Rasio deret geometri tak hingga adalah 7log (4x – 1). Tentukan batas nilai x agar deret ini konvergen! Jumlah deret geometri tak hingga adalah 50. Perbandingan jumlah suku-suku bernomor ganjil dan jumlah suku-suku bernomor genap adalah 5 : 4. Tentukan deret tersebut!

Sebuah bola dijatuhkan dari pagar setinggi 5 m ke tanah Sebuah bola dijatuhkan dari pagar setinggi 5 m ke tanah. Bola itu memantul setinggi ¾ dari tinggi sebelumnya, begitu seterusnya. Berapa panjang lintasan bola sampai berhenti?

Kunci Jawaban 2/7 < x < 2, x ≠ ½ a = 10, r = 4/5 10 + 8 + 32/5 + 128/25 + ... Panjang lintasan = 35 m

Selesai