Uniform Convergence of Series: Tests and Theorems

Pengujian M Weierstrass Definisi: Jika sebuah barisan konstanta-konstanta positif M1, M2, M3, .... dapat dicari sehingga di dalam suatu interval berlaku: a) |un(x)| ≤ Mn, n >= N b) Mn konvergen maka un(x) konvergen uniform dan konvergen mutlak di dalam interval tersebut

Pengujian M Weierstrass Bukti:

Pengujian M Weierstrass N tidak bergantung pada x un(x) konvergen uniform |un(x)| ≤ Mn, n = 1, 2, 3, ... Mn konvergen, maka menurut uji perbandingan |un(x)| konvergen un(x) konvergen mutlak

Pengujian M Weierstrass Example 1: konvergen uniform dan konvergen mutlak di dalam [0, 2] karena dan konvergen

Pengujian M Weierstrass Example 2: Test for uniform convergence of Jawab: Dengan uji rasio, deret ini konvergen pada interval 1 ≤ x ≤ 1 Untuk semua x pada interval ini, berlaku . Dengan memilih , Mn konvergen, sehingga deret yang di atas, menurut pengujian M-Weierstrass konvergen uniform dan konvergen mutlak pada interval 1 ≤ x ≤ 1

Pengujian Dirichlet Barisan {an} adalah barisan konstanta positif yang menurun secara monoton dan mempunyai limit nol Terdapat konstanta P sedemikian sehingga untuk a ≤ x ≤ b berlaku: |u1(x) + u2(x) + u3(x) + ... + un(x)| < P untuk semua n > N Maka deret konvergen uniform di dalam a ≤ x ≤ b

Pengujian Dirichlet Bukti: Tugas

Pengujian Dirichlet Example 3: Jika deret pangkat konvergen untuk x = x0 . Buktikan bahwa deret tersebut a) konvergen mutlak pada interval |x| < |x0| b) konvergen uniform pada interval |x| ≤ |x1| dimana |x1| < |x0|

Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Jika {un(x)} , n = 1, 2, 3, ... kontinu di dalam [a, b] dan jika un(x) konvergen uniform ke jumlah S(x) di dalam [a, b], maka S(x) kontinu di dalam [a, b]

Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Bukti: Akan ditunjukkan bahwa S(x) kontinu di dalam [a, b] S(x) = Sn(x) + Rn(x), sehingga: S(x + h) = Sn(x + h) + Rn(x + h)  S(x + h) – S(x) = Sn(x + h) – Sn(x) + Rn(x + h) – Rn(x) dimana h dipilih  x, x + h ϵ [a, b] Karena u1(x), u2(x), ..., un(x) fungsi-fungsi yang kontinu maka Sn(x) = u1(x) + u2(x) + ... + un(x) adalah fungsi yang kontinu juga.

Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Artinya bila diberikan  > 0 maka dapat dicari  > 0  |Sn(x + h) – Sn(x)| < /3 bila |h| <  Karena un(x) konvergen uniform, maka dapat dipilih N  |Rn(x)| < /3 dan |Rn(x + h)| < /3 untuk n > N Maka diperoleh bahwa |S(x + h) – S(x)| ≤ |Sn(x + h) – Sn(x)| + |Rn(x + h)| + |Rn(x)| < /3 + /3 + /3 =  untuk|h| <   S(x) kontinu dalam [a, b]

Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Jika {un(x)} , n = 1, 2, 3, ... kontinu di dalam [a, b] dan jika un(x) konvergen uniform ke jumlah S(x) di dalam [a, b], maka atau

Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Bukti: Sn(x) = u1(x) + u2(x) + ... + un(x) u1(x), u2(x), ..., un(x) kontinu dalam [a, b] maka Sn(x) juga kontinu dalam [a, b]. Menurut teorema 1 maka S(x) juga kontinu dalam [a, b] Karena S(x), Sn(x), dan Rn(x) kontinu, maka:

Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Dalam hal ini akan ditunjukkan bahwa Karena un(x) konvergen uniform, maka |Rn(x)| < /(b-a) untuk n > N (N yang tidak bergantung pada x di dalam [a, b]) sehingga diperoleh:

Teorema pada Deret Konvergensi Uniform  berarti atau

Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Jika {un(x)} , n = 1, 2, 3, ... kontinu dan mempunyai turunan-turunan kontinu di dalam [a, b] dan jika un(x) konvergen ke S(x) sedangkan un‘(x) konvergen uniform di dalam [a, b], maka di dalam [a, b] akan berlaku atau

Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Bukti: Misalkan g(x) = un‘(x) . Karena un‘(x) konvergen uniform dalam [a, b] maka menurut teorema 2 diperoleh:  maka

Teorema pada Barisan Konvergensi Uniform Teorema 1, 2, dan 3 untuk deret di atas dapat juga diformulasi untuk barisan. Jika {un(x)} , n = 1, 2, 3, ... konvergen uniform di dalam [a, b], maka dan

Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Example 4: Diketahui . Buktikan bahwa

Teorema pada Barisan Konvergensi Uniform Example 5: Diketahui a) Tentukan apakah b) Jelaskan hasil pada bagian a)

Teorema pada Barisan Konvergensi Uniform Example 6: Diketahui Tunjukkan bahwa {un(x)} konvergen tetapi tidak uniform pada [0, 1]

Exercise Advanced Calculus, 2nd ed, no. 11.92 – 11.99