INTEGRAL TAK TENTU INTEGRASI FUNGSI PECAH INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI

7.5. Integrasi fungsi pecah Fungsi pecah adalah fungsi rasional yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x), dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomial dan Q(x)  0. Dalam bentuk rumus fungsi pecah dapat ditulis dalam bentuk,

Jika ∫f(x)dx tidak dapat diselesaikan dengan metode substitusi, maka gunakan metode pecahan parsial. Langkah-langkah yang dapat digunakan adalah sebagai berikut: 1. Periksa derajad P(x) dan Q(x). Jika derajad P(x) lebih besar dari derajad Q(x) maka cari hasil bagi P(x)/Q(x). Jika derajad P(x) lebih kecil dari Q(x) maka langsung ke nomor 2. 2. Faktorkan Q(x) a. Untuk faktor axn pecahan parsialnya ditulis dalam bentuk, b. Untuk faktor (ax+b)n pecahan parsialnya adalah,

c. Untuk faktor (ax2+bx+c)n pecahan parsialnya adalah, Koeffisien-koeffisien A1 , A2 , A3 , … , An dapat diganti dengan A, B, C dst. Contoh 7.10 Penyelesaian Karena derajad P(x) lebih kecil dari derajad Q(x) maka faktorkan Q(x).

Untuk menentukan nilai A, B, dan C, bandingkan pembilang pada (**) dengan pembilang pada soal, sehingga didapat, A+B+C = 1 –A+2B-3C = 5 –6A = –12 Tiga persamaan tersebut menghasilkan A = 2 ; B = 4/5 ; C = -9/5

Dengan memasukkan harga A, B dan C ke (*) maka didapat, Contoh 7.11 Selesaikan Penyelesaian

Karena derajad P(x) lebih tinggi dari derajad Q(x) maka lakukan pembagian. x3 + 6x2 + 5x – 12 x4 + 7x3 + 12x2 – 10x – 7 x + 1 x4 + 6x3 + 5x2 – 12x x3 + 7x2 + 2x – 7 x2 – 3x + 5

7.6. Integrasi fungsi trigonometri 7.6.1 Integrasi fungsi sinu, cosu, tanu, cotu, secu dan cscu Bukti

Bukti Bukti

Bukti Bukti

Bukti

7.6.2 Integrasi fungsi sinmu dan cosmu Langkah untuk menyelesaikan ∫sinmu du dan∫cosmu du adalah sebagai berikut.

Jika m adalah bilangan bulat positif ganjil yang lebih besar dari satu, maka sinmu ditulis dalam bentuk sinm-1 u sin u Sedangkan cosm u ditulis cosm-1 u cos u. Selanjutnya gunakan identitas trigonometri, sin2u + cos2u = 1 dan metode substitusi 2. Jika m adalah bilangan bulat positif genap yang lebih besar dari dua, maka sinmu ditulis dalam bentuk (sin2 u)m/2 . Sedangkan cosm u ditulis (cos2 u)m/2 . Selanjutnya gunakan identitas trigonometri, Contoh 7.12

Contoh 7.12 Penyelesaian Misal u = cosx  –du = sinx dx

Contoh 7.13 Penyelesaian Misal u = sinx  du = cosx dx

Contoh 7.14 Penyelesaian

Contoh 7.15 Penyelesaian

7.6.3 Integrasi fungsi trigonometri sinmu cosnu Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran sinm u cosnu berikut diberikan langkah- langkah penyelesaian. 1. Jika m adalah bilangan bulat ganjil  3, maka c. Lakukan substitusi u = cosx 2. Jika n adalah bilangan bulat ganjil  3, maka c. Lakukan substitusi u = sinx

3. Jika m dan n adalah bilangan genap  2, maka b. Gunakan identitas trigonometri, Contoh 7.16 Penyelesaian Misal u = cosx  –du = sinx dx

Contoh 7.17 Penyelesaian

7.6.4 Integrasi fungsi trigonometri tanm u secnu Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran tanmu secnu berikut diberikan langkah-langkah penyelesaian 1. Jika m adalah biilangan bulat ganjil 3, maka c) Lakukan substitusi u = sec x

2. Jika n adalah bilangan bulat genap  2, maka : a) tanm x secn x ditulis dalam bentuk tan mx secn-2x sec2x b) Gunakan identitas trigonometri sec2x = tan2x + 1 c) Lakukan substitusi u = tanx Jika m adalah bilangan genap dan n adalah bilangan ganjil, berkemungkinan metode yang digunakan adalah integral parsial Contoh 7.18 Penyelesaian

Misal u = sec x  du = secx tanx dx Jadi 7.7. Integrasi fungsi trigonometri invers

Bukti dw = du  w = u ∫v dw=vw – ∫w dv Gunakan rumus integral parsial Contoh 7.19 Penyelesaian

Bukti dw = du  w = u Gunakan rumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv

Bukti

Bukti Bukti

Bukti

7.8 Integrasi dengan substitusi trigonometri 7.8.1 Integrasi fungsi irrasional Langkah awal untuk menyelesaikan integral fungsi irrasional adalah dengan mengu8bah integran yang berbentuk irrasional menjadi rasional. Biasanya untuk mencapai hal tersebut kita lakukan substitusi trigonometri. Pada pasal ini akan dibahas beberapa fungsi irrasional.

Dari gambar disamping didapat Bukti a x u Dari gambar disamping didapat a sinu = x  a cos u du = dx

Dari gambar disamping didapat (7.17) Bukti x a u Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx

Dari gambar disamping didapat (7.18) x a u Bukti Dari gambar disamping didapat a tanu = x  a sec2u du = dx

Dari gambar disamping didapat (7.19) Bukti x a u Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx

Dari gambar disamping didapat (7.20) Bukti a x u Dari gambar disamping didapat a sinu = x  a cos u du = dx

Dari gambar diatas didapat (7.21) Bukti x a u Dari gambar diatas didapat Misal v = sinu  dv = cosu du

Dari gambar disamping didapat Bukti x a u Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx

Dari gambar diatas didapat, 7.8.2 Integrasi fungsi yang mempunyai bentuk 1/(x2+a2) Bukti x a u a tanu = x  a sec-1u du = dx

Dari pembahasan yang telah diuraiankan diatas dapat disimpulkan bahwa: a) Jika integran mengandung maka substitusi x = a sinu b) Jika integran mengandung maka substitusi x = a tanu c) Jika integran mengandung maka substitusi x = a secu d) Jika integran mengandung maka substitusi x = a tanu a2 + x2

Jika ax2 +bx+c merupakan faktor terkecil dan d(ax2 +bx+c)  (Ax+B)dx, maka Bukti

Misal, du = dx

Substitusi nilai u, m dan n, didapat,

Contoh 7.20 Penyelesaian A = 1 ; B = -2 ; a = 1 ; b = 2 ; c = 5

7.8.4 Integrasi fungsi irrasional yang sejenis Jika integran hanya memuat bentuk irrasional dari satu jenis fungsi, misalnya f(x), maka kita dapat menggunakan substitusi u = , dimana n adalah kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar. Contoh 7.21 Penyelesaian

7.8.5 Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka kita dapat melakukan substitusi sebagai berikut.

Contoh 7.22 Penyelesaian Misal u = x – 3 → du = dx

7.8.6 Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka lakukan substitusi Contoh 7.23 Penyelesaian