TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT TIM DOSEN KALKULUS 2

Transformasi Koordinat Dalam menyelesaikan integral lipat atas suatu daerah R, dapat diselesaikan dengan menggunakan koordinat lain selain dengan menggunakan koordinat persegi panjang xy. Transformasi dari satu koordinat persegi panjang ke sistem koordinat lainnya.

Transformasi Koordinat Tinjau suatu fungsi T, yang mempunyai domain D (daerah pada bidang xy) dan mempunyai range E (daerah pada bidang uv), sehingga T(x,y)=(u,v). T  transformasi koordinat dari bidang xy ke bidang uv. u dan v adalah fungsi dari x dan y

Transformasi Koordinat y v (x,y) T (u,v) x u

Contoh T suatu transformasi koordinat yang didefinisikansbb: u=x+2y , v=x-2y. (T(x,y) a. Tentukan nilai untuk (0,1),(1,2) dan (2,-3) b. Gambarkan pada bidang uv garis vertikal untuk u=2,u=4,u=6,u=8 dan garis horisontal untuk v=-1,v=1,v=3,v=5. c. Gambarkan hubungan kurva u dan kurva v dalam bidang xy.

Transformasi Koordinat Jika T suatu transformasi koordinat satu- satu, maka bisa dicari invers atau transformasi balikannya dari T, yakni T-1 dari bidang uv ke bidang xy x = F(u,v) y = G(u,v) Jika T suatu transformasi satu-satu maka inversnya T-1 . Dalam hal ini , T-1(T(x,y)) = (x,y) dan T(T-1(u,v)) = (u,v) untuk setiap (x,y) di D dan setiap (u,v) di E.

Contoh Tentukan invers dari transformasi T yang didefinisikan pada contoh sebelumnya. Gambarkan kurva pada bidang uv yang memetakan ellips atas T-1

Perubahan Variabel pada Integral Lipat Tinjau untuk suatu daerah R dalam bidang xy, substitusi x=f(u,v) dan y=g(u,v). Persamaan ini menyatakan transformasi koordinat W dari bidang uv ke bidang xy. Dalam hal ini menentukan daerah S di bidang uv yang ditransformasi dari R oleh W(menentukan batas integral baru)

Matriks Jacobian Jika x=f(u,v) dan y=g(u,v), maka Jacobian dari x dan y adalah Dimana,

Contoh Tentukan jacobian dari Jika , tentukan jacobian

Theorema Jika x=f(u,v) dan y=g(u,v) adalah transformasi koordinat, maka Dimana G(u,v) = F{f(u,v),g(u,v)}

Contoh Hitung untuk daerah R pada bidang xy yang dibatasi oleh trapezoid dengan titik sudut (0,1), (0,2), (2,0) dan (1,0). untuk daerah R di kuadran pertama pada bidang xy antara lingkaran yang berjari-jari 1 dan berjari-jari 2.

Transformasi diatas dapat diperluas untuk menyelesaikan integral lipat tiga. Diberikan transformasi x=f(u,v,w) , y=g(u,v,w) , z=h(u,v,w) dari sistem koordinat uvw ke sistem koordinat xyz. Jacobian =

Theorema Jika x=f(u,v,w) , y=g(u,v,w) , z=h(u,v,w) transformasi koordinat, maka Dimana G(u,v,w)=F{f(u,v,w),g(u,v,w),h(u,v,w)}

Contoh Tentukan jacobian dari x = 2u + 3v – w, y = u – 5w ,z = u + 4w Dengan menggunakan koordinat silinder, tentukan volume benda di atas bidang xy, yang dibatasi oleh paraboloid dan silinder

Contoh Dengan menggunakan koordinat bola tentukan volume benda yang bagian atasnya dibatasi oleh bola dan bagian bawah dibatasi oleh kerucut