MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN RETNO ANGGRAINI

Definisi Matrix Matrix adalah kumpulan angka yang disusun berdasarkan baris dan kolom 1 3 5 2 4 6 Ordo Matrix adalah ukuran matrix yang menunjukkan jumlah baris dan jumlah kolom Contoh : {A} dgn ordo 2x3 = memiliki 2 baris dan 3 kolom } {

OPERASIONAL MATRIX PENJUMLAHAN MATRIX : {A} +{B} yaitu penjumlahan antar dua atau lebih matrix dgn ordo matrix yg sama PENGURANGAN MATRIX : {A}-{B} yaitu penguranan antar dua atau lebih matrix dgn ordo matrix yg sama PERKALIAN MATRIX 1. Dengan skalar : n.{A} 2. Antar Matrix : {A}.{B}

{ } { } { } Membentuk matrix Contoh dlm Sistem Persamaan linear 20 x1 + 3 x2 = 3 10 x1 - 5 x2 = 5 maka dapat dibentuk matrix 20 3 x1 3 10 -5 x2 5 { } { } { } =

ILMU HITUNG MATRIX Penjumlahan Matrix {A}+{B} = {C} Pengurangan Matrix Perkalian Matrix dengan skalar n.{A} = {nA)} Perkalian antar matrix {A}x{B} = {C}

SIFAT PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIX {A} + {B} = {B} + {A} {A} + ({B}+{C}) = ([A}+{B}) + {C} {A} + 0 = {A} {A} + {-A} = 0 {A} – {B} ≠ {B} – {A} {A} - ({B}-{C}) ≠ ([A}-{B}) - {C} {A} - 0 = {A}

{ } { } { } { } MATRIX KHUSUS Matrix segitiga a. Segitiga Atas b. Segitiga Bawah Matrix Diagonal Matrix Identitas { } 2 3 0 1 4 0 0 5 { } 0 0 1 0 2 0 { } 0 0 0 5 0 0 0 4 { } 0 0 0 1 0 0 0 1

SIFAT PERKALIAN MATRIX PERKALIAN SKALAR c({A}+{B}) = c{A} + c{B} (c+k) {A} = c{A} + k{A} c(k{A}) = (ck) {A} {I} {A} = {A} PERKALIAN MATRIX (k{A}){B} = k (AB) = A (kB) A(BC) = (AB) C (A+B) C = AC + BC C (A+B) = CA + CB AB ≠ BA AB = 0 bukan berarti A atau B atau keduanya = 0

TRANSPOSE MATRIX Tranpose matrix adalah penukaran posisi pada matrix. Baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris {A} bxk : {A}T = {A} kxb Contoh : { } { } 2 3 4 6 5 7 2 3 4 5 6 7 { A }T {A} = =

SIFAT TRANSPOSE MATRIX (A+B)T = AT + BT (AT)T = A l (A)T = (lA)T (AB)T =BT AT

INVERS MATRIX Invers matrix adalah kebalikan dari suatu matrix Disimbolkan {A}-1 = Dimana {A}-1 = {adjoin} 1 A 1 Det

DETERMINAN Matrix ordo 2x2 {A} = { } det{A} = ad – bc Matrix ordo 3x3 Determinan merupakan besaran skalar yang berhubungan dengan matrix Disimbolkan det{A) atau IAI Matrix ordo 2x2 {A} = { } det{A} = ad – bc Matrix ordo 3x3 {A} = { } det{A} = I I dgn ke kanan + kekiri - a b c d a b c d e f g h i a b c d e f g h i a b d e g h

CONTOH DETERMINAN

METODE PERHITUNGAN DETERMINAN MATRIX ORDO 2X2 ad - bc MATRIX ORDO 3X3 aturan sarrus : perkalian menyilang. Dgn pemberian tanda arah kekanan (+) arah kekiri (-) MATRIX ORDO NXN - Ekspansi Baris - Ekspansi Kolom

{ } { } { } { } Ekspansi Baris Mereduksi salah satu baris untuk memperkecil ordo matrix, guna menentukan matrix minor dan menghitung determinan dari matrix Contoh reduksi baris { } Mereduksi baris pertama Untuk kemudian dijadikan Pivot untuk perhitungan determinan { } 3 4 5 6 6 8 5 6 6 8 { } Mereduksi baris kedua Untuk kemudian dijadikan Pivot untuk perhitungan determinan { } 3 4 5 6 6 8 2 3 4 6 8

Determinan dgn Metode Ekspansi Kolom { } a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Jika suatu matrix {A} = Maka Determinan dari matrix {A} dengan reduksi kolom pertama adalah : IAI = ∑ aji.(-1)i+j Aji dimana : aji nilai matrix pada posisi ij yang direduksi Aji matrix yang telah terduksi

Contoh

{ } { } { } { } Ekspansi Kolom Mereduksi salah satu kolom untuk memperkecil ordo matrix, guna menentukan matrix minor dan menghitung determinan dari matrix Contoh reduksi kolom { } Mereduksi kolom ketiga Untuk kemudian dijadikan Pivot untuk perhitungan determinan { } 3 5 6 3 4 5 6 6 8 { } Mereduksi kolom pertama Untuk kemudian dijadikan Pivot untuk perhitungan determinan { } 4 6 8 3 4 5 6 6 8

Determinan dgn Metode Ekspansi Baris { } a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Jika suatu matrix {A} = Maka Determinan dari matrix {A} dengan reduksi baris pertama adalah : IAI = ∑ aij.(-1)i+j Aij dimana : aij nilai matrix pada posisi ij yang direduksi Aij matrix yang telah terduksi { A } =

Contoh

SIFAT SIFAT DETERMINAN Harga determinan akan tetap walaupun posisi matrix berubah baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris (Transpose matrix) Jika dua baris atau kolom di tukarkan tempatnya maka nilainya menjadi (-) Jika ada dua baris/kolom yang identik maka harga determinannya akan = 0 Jika elemen salah satu baris atau kolom semua dikalikan dengan faktor yang sama maka nilai determinanya pun akan dikalikan dgn faktor yang sama pula Jika elemen salah satu baris/kolom ditambah/dikurangi dgn kelipatan elemen baris atau kolom lain maka nilai determinannya akan tetap

ADJOIN MATRIX BUJUR SANGKAR Matrix yang berkenaan dengan perhitungan invers matrix Langkah pembentukan adjoint matrix 1. Membentuk matrix Kofaktor {C} 2. Mentranspose matrix kofaktor {C}T { } A11 A12 A13 A21 A22 A32 A31 A32 A33 {C} = { } A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 {C}T =

Contoh

INVERS MATRIX Merupakan kebalikan dari matrix Invers Matrix = {A}-1 = Pembentukan Invers Matrix 1. Hitung determinan A = IAI 2. Bentuk matrix C yg elemenya adalah kofaktor elemen IAI 3. Bentuk Transpose matrix C = {C}T 4. Membagi dgn determinan A = IAI 5. Akan terbentuk invers matrix 1 det {adjoin}

Contoh