MATRIKS

A. PENGERTIAN, NOTASI DAN ORDO MATRIKS Pengertian Matriks Matriks adalah suatu susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Susunan ini diletakkan dalam ( ), atau [ ] atau || ||

Baris Ke-1 Baris Ke-2 A = Baris Ke-m Kolom Ke-1 Kolom Ke-n

CONTOH 1 : Tentukan: a. banyak baris matriks A b. banyak kolom matriks A c. a11, a21, a24, a32

Notasi Matriks Suatu matriks diberi notasi dengan huruf kapital, seperti A, B, C dan sebagainya. Contoh : A =

3. Ordo Matriks Ordo (ukuran) dari matriks adalah banyak baris dan kolom yang dimiliki matriks yang bersangkutan. A m x n berarti matriks A berordo m x n artinya matriks A memiliki m buah baris dan n buah kolom CONTOH: A = Matriks A berordo 3 x 4

4. Tranpose Matriks Contoh : Tentukan tranpose dari matriks A = Matriks berordo n x m yang didapat dari penukaran baris dengan kolom matriks Am xn disebut tranpose dari A dan dinyatakan dengan notasi At (A tranpose) Contoh : Tentukan tranpose dari matriks A =

B. KESAMAAN DUA MATRIKS Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, jika : Ordonya sama Nilai tiap elemen yang seletak (bersesuaian) sama

Contoh : Carilah nilai x, y dan z dari : =

Jenis-Jenis MATRIKS a. Matriks Baris Contoh : adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris. Contoh :

b. Matriks Kolom Contoh : adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. Contoh :

c. Matriks Persegi Contoh : adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Matriks persegi berordo n x n Contoh :

C. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS 1. Penjumlahan Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan jika keduanya memiliki ordo yang sama. Hasil operasi penjumlahan adalah matriks baru yang ordonya sama dengan matriks semula yang elemennya diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen seletak pada matriks A dan B.

CONTOH : Diberikan tiga buah matriks berikut : Tentukan A + B dan A + C

2. Pengurangan Matriks Jika A dan B adalah dua matriks yang ordonya sama, maka A – B = A+ (-B) CONTOH : Diberikan matriks berikut ini Tentukan A – B dan A - C

3. Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar Diberikan matriks Tentukan 2A, -3A dan ½ A

Sifat-sifat Perkalian Bilangan Real dengan Matriks Untuk bilangan real k1 dan k2 dan untuk matriks A dan B yang berordo sama, berlaku : (k1 k2) A = k1 (k2 A) K1 (A + B ) = k1A + k1B = (A + B) k1 (k1 + k2) A = k1A + k2A 1 . A = A 0 . A = 0

4. Perkalian Matriks Perkalian dua matriks A x B ada hasilnya bila banyaknya kolom matriks A (kiri) sama dengan banyaknya baris matriks B (kanan) Matriks hasilnya mempunyai baris sebanyak baris matriks kiri dan mempunyai kolom sebanyak kolom matriks kanan.

CONTOH :

CONTOH :

CONTOH :

Lihatlah matriks A dan matriks B berikut ini : Apakah perkalian AB = BA ? Ternyata perkalian AB ≠ BA, hal ini menunjukkan bahwa pada perkalian dua matriks tidak berlaku sifat komutatif

Matriks Satuan Adalah matriks persegi-n dengan semua elemen diagonal utamanya 1 dan elemen-elemen lainnya nol (dilambangkan dengan I) Untuk matriks persegi ordo 2 matriks identitasnya adalah

Misalkan matriks

INVERS MATRIKS Determinan Matriks Ordo 2 x 2 determinan dari matriks A ditulis det.A atau | A |, didefinisikan :

Contoh :

Invers Matriks Ordo 2 x 2 Jika A dan B adalah matriks-matriks persegi yang ordonya sama dan AB = BA = I Maka B adalah invers dari A, ditulis B = A-1 dan A adalah invers dari B, ditulis A = B-1

Contoh : Tentukan invers matriks

Matriks Singular dan Matriks Non Singular Suatu matriks dikatakan singular jika determinannya nol dan non singular jika determinannya tidak nol.

Contoh : Diberikan matriks-matriks : Manakah dari matriks-matriks itu yang merupakan matriks singular atau nonsingular ?

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Menggunakan Matriks Bentuk Umum SPLDV : a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Bentuk Umum SPLDV ini dapat dinyatakan dalam bentuk matriks :

Misalkan : Maka persamaan matriks di atas dapat ditulis sebagai AX = B Sehingga SPLDV tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan matriks dalam bentuk: A X = B → X = A -1B

CONTOH : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear 7x + 3y = - 5 Dengan menggunakan matriks

Aturan Cramer Bentuk Umum SPLDV ini dapat dinyatakan dalam bentuk matriks :

Dari hasil di atas maka :

CONTOH : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear 7x + 3y = - 5 Dengan menggunakan Aturan Cramer

Latihan : 1. Tentukan penyelesaian SPLDV berikut dengan menggunakan persamaan matriks : a. 2x + 3y = 12 3x + 5y = 19 b. 2x - 4y – 4 = 0 4x - 6y – 7 = 0 c. 5x – 4y - 3 = 0 -2x + 3y + 1 = 0

2. Tentukan penyelesaian SPLDV berikut dengan menggunakan aturan Cramer : a. x + y = - 1 2x - y = 7 b. 2x + y = 5 3x - 2y = 4 c. -7x + 4y = -2 5x + 3y = 19

Invers Matriks berordo 3 x 3 Jika A adalah matriks non singular, maka invers dari A adalah :

1. Minor Jika elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A berordo 3 x 3 dihapuskan, maka didapat matriks baru berordo 2 x 2, dengan determinannya disebut minor dari determinan matriks A dan dinyatakan dengan |Mij|

Misalkan matriks A berordo 3x3 adalah : Minor |M11| adalah : Jika baris ke-1 dan kolom ke-1 dihapuskan, maka didapat

Minor |M12| adalah : Jika baris ke-1 dan kolom ke-2 dihapuskan, maka didapat

Minor |M13| adalah : Jika baris ke-1 dan kolom ke-3 dihapuskan, maka didapat

2. Kofaktor Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dinyatakan dengan Aij yang ditentukan dengan rumus : Aij = (-1) i + j |Mij|

Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah : A11 = (-1) 1 + 1 |M11| = |M11| A12 = (-1) 1 + 2 |M12| = -|M12| A13 = (-1) 1 + 3 |M13| = |M13| A21 = (-1) 2 + 1 |M21| = -|M21| A22 = (-1) 2 + 2 |M22| = |M22| A23 = (-1) 2 + 3 |M23| = -|M23| A31 = (-1) 3 + 1 |M31| = |M31| A32 = (-1) 3 + 2 |M32| = -|M32| A33 = (-1) 3 + 3 |M33| = |M33|

3. Adjoint Jika matriks A berordo 3 x 3, maka :

4. Determinan matriks Berordo 3x3 Nilai determinan dari matriks A ditulis |A| atau det A dapat ditentukan dengan rumus : |A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = a11|M11| - a12|M12| + a13|M13|

|A| = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 = -a21|M21| + a22|M22| - a23|M23| |A| = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 = a31|M31| - a32|M32| + a33|M33|

Kaidah Sarrus = a11 a22a33+ a12a23a31+a13a21a32

Tentukan invers matriks berikut :