INVERS MATRIKS Pengertian Invers Matriks Menginverskan suatu matriks berarti mencari matriks yg apabila dikalikan dengan matriks bujur sangkar tertentu menghasilkan matriks satuan (matriks identitas). Misalkan : matriks A, maka invers matriks A adalah A-1, AA-1 = I. Catatan : Tidak semua matriks bujur sangkar mempunyai invers. Matriks bujur sangkar yang mempunyai invers adalah matriks bujur sangkar yg non singular (determinannya  0). Indrawani/Alin/II/2008

Rank matriks nol sama dengan nol Contoh : (1). Matriks Suatu matriks tak nol A dikatakan mempunyai rank r, bila ada minor matriks (determinan bagian) derajat r yang tidak nol, sedangkan setiap minor berderajat r+1, jika ada, sama dengan nol. Catatan : Rank matriks nol sama dengan nol Contoh : (1). Matriks Indrawani/Alin/II/2008

(2). Matriks (3). Indrawani/Alin/II/2008

Bila rank A < n, maka A disebut singular. Sifat-1 : Matriks Non Singular Suatu matriks bujur sangkar A bertipe n x n disebut non-singular bila rank A = n (det(A)≠ 0) Bila rank A < n, maka A disebut singular. Sifat-1 : Bila A dan B matriks bujur sangkar n x n, maka : det(AB)=det(A).det(B); akibatnya bila A dan B non-singular, sebab det(A)≠ 0 dan det(B)≠0 meng-akibatkan Det(A).Det(b)≠ 0. Sifat-2 : Bila A matriks elementer, maka A non-singular. Indrawani/Alin/II/2008

A mempunyai invers bila dan hanya bila det (A) ≠ 0. Sifat-3 : Setiap matriks elementer mempunyai invers. Sifat-4 : Matriks bujur sangkar A non-singular bila dan hanya bila A mempunyai invers, akibatnya : A mempunyai invers bila dan hanya bila det (A) ≠ 0. Indrawani/Alin/II/2008

Mencari Invers Matriks 1. Matriks berorder 2 x 2 Misalkan : Indrawani/Alin/II/2008

(1). a11b11+ a12b21 = 1 (2). a11b12+ a12b22 = 0 (3). a21b11+ a22b21 = 0 (4). a21b12+ a22b22 = 1 Secara simultan dari keempat persamaan tersebut di atas diperoleh : Indrawani/Alin/II/2008

Contoh : Carilah invers matriks Penyelesaian : det (A) = (8)(3)-(4)(5) = 4 Indrawani/Alin/II/2008

2. Menghitung Invers matriks dengan Adjoin. 2.1. Adjoin Matriks Adjoin matriks : transpos dari matriks kofaktor. Kofaktor unsur aij, ditulis dengan Cij = (-1)I+jMij. Adjoin matriks A adalah matriks : dengan Cij kofaktor unsur aij. Indrawani/Alin/II/2008

Contoh : ; C11 = (-1)1+1M11 = 4 C21=(-1)2+1M21= - 3 Bila A mempunyai invers maka : Contoh : ; C11 = (-1)1+1M11 = 4 C21=(-1)2+1M21= - 3 C12 = (-1)1+2M12 = -1 C22=(-1)2+2M22= 2 ; Indrawani/Alin/II/2008

C11=(-1)1+1.M11 = (1)(9-16)=-7 C21=(-1)2+1.M21 = (-1)(6-12) = 6 Bila : C11=(-1)1+1.M11 = (1)(9-16)=-7 C21=(-1)2+1.M21 = (-1)(6-12) = 6 C12=(-1)1+2.M12 = (-1)(3-4) = 1 C22=(-1)2+2.M22 = (1)(3-3) = 0 C13=(-1)1+3.M13 = (1)(4-3) = 1 C23=(-1)2+3.M23 = (-1)(4-2) = -2 C31=(-1)3+1.M31 = (1)(8-9) = -1 C32=(-1)3+2.M32 = (-1)(4-3) = -1 C33=(-1)3+3.M33 = (1)(3-2) = 1 Indrawani/Alin/II/2008

Matriks bujur sangkar A tipe n x n yang non singular 3. Menghitung Invers Matriks dengan OBE Matriks bujur sangkar A tipe n x n yang non singular mempunyai bentuk normal In. Tuliskan matriks I di belakang matriks A, kemudian dengan OBE matriks A menjadi matriks I sedangkan matriks I menjadi matriks A-1. Contoh-1 : Carilah A-1 dari matriks Indrawani/Alin/II/2008

Jadi : Indrawani/Alin/II/2008

Contoh-2 : Carilah A-1 dari matriks Penyelesaian : Indrawani/Alin/II/2008