Kuliah Rangkaian Digital Kuliah 2: Aljabar Boolean Teknik Komputer Universitas Gunadarma

Topik 2 – Aljabar Boolean Aturan-2 u/ menentukan logika digital, atau `switching algebra’ Terkait dengan nilai-2 Boolean – 0, 1 Nilai sinyal dinyatakan dengan variabel-2 – {X, Y, DIN, …} Perjanjian logika positif Tegangan analog (LOW, HIGH)  (0, 1) logika negatif – jarang digunakan Operator-2: { · , + , ‘ ,  } Aksioma-2 dan Teorema-2 … Membantu u/ mereduksi logika kompleks menjadi logika lebih sederhana – meningkatkan “area dan kecepatan” dari rangkaian digital

Definisi: Ekspresi Boolean Literal: sebuah variabel atau komplemennya X, X¢, DIN¢, TK_L Ekpresi: literals dikombinasikan dengan AND, OR, tanda kurung, komplementasi X+Y P × Q × R A + B × C ((DIN × Z¢) + TK_L × A × B¢ × C + Q5) × RESET¢ Persamaan: variabel = ekspresi P = ((DIN × Z¢) + TK_L × A × B¢ × C + Q5) × RESET¢

Aksioma Aksioma kumpulan definisi dasar (A1-A5, A1’-A5’) minimal yang diasumsikan benar dan secara menyeluruh mendefinisikan aljabar switching Dapat digunakan untuk membuktikan teorema-2 aljabar switching lainnya (T1-T15). (A1) X=0, if X1 (A1’) X=1, if X0 (A2) If X=0, then X’=1 (A2’) If X=1, then X’=0 (A3) 0 · 0 = 0 (A3’) 1 + 1 = 1 (A4) 1 · 1 = 1 (A4’) 0 + 0 = 0 (A5) 0 · 1 = 1 · 0 = 0 (A5’) 1 + 0 = 0 + 1 = 1 Each axiom has a dual

Teorema-2 variabel tunggal (T1-T5) Dibuktikan melalui induksi sempurna (perfect induction) Karena sebuah variabel switching hanya dapat mempunyai nilai 0 dan 1, kita dapat membuktikan sebuah teorema dengan melibatkan sebuah variabel tunggal X melalui peletakan sederhana: X = 0 atau X =1 Contoh: (T1) X + 0 = X X=0 : 0 + 0 = 0  benar menurut aksioma A4’ X=1 : 1 + 0 = 1  benar menurut aksioma A5’

Teorema-2 dua dan tiga variabel (T6-T11) Dualitas: Tes: 0 & 1, AND & OR  teorema-2 tetap benar? Ya!! …kenapa? … setiap aksioma memiliki sebuah dual … Hati-2 dengan` urutan operator (operator precedence_’ – penggunaan tanda kurung

Teorema T6, T7 (Commutatif) (T6) X + Y = Y + X (T6’) X · Y = Y · X (Assosiatif) (T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T7’) (X · Y) · Z = X · (Y · Z) Mirip dengan hukum-2 commutatif dan assosiatif untuk penjumlahan dan perkalian dari bilangan-2 bulat dan riil

Teorema T8 (Distributif) (T8) X · Y + X · Z = X · (Y + Z) Jumlah dari perkalian (sum-of-products (SOP)) vs. Perkalian dari jumlah (product-of-sums (POS)) V · W · Y + V · W · Z + V · X · Y + V · X · Z = V · (W + X) · (Y + Z) (bentuk SOP) (bentuk POS) (V · W · X) + (Y · Z ) = (V + Y) · (V + Z) · (W + Y) · (W + Z) · (X + Y) · (X + Z) Tergantung pd masalah, pilih yang lebih sederhana Yang mana lebih logis menurut anda?

Teorema T9, T10 (Covering) (T9) X + X · Y = X (T9’) X · (X + Y) = X (Kombinasi) (T10) X · Y + X · Y’ = X (T10’) (X + Y) · (X + Y’) = X Perguna dalam penyederhanaan fungsi-2 logika

Teorema T11 (konsensus) (T11) X · Y + X’ · Z + Y · Z = X · Y + X’ · Z Pada T11 term Y·Z disebut konsensus dari term X·Y dan X’·Z: Jika Y · Z = 0, maka T11 pasti benar Jika Y · Z = 1, maka X · Y atau X’ · Z harus 1 Sehingga term Y · Z : redundan dan harus dibuang Tugas buktikan (T11’)?

Teorema-2 N-variabel (T12 – T15) Pembuktian menggunakan induksi terbatas (finite induction) Paling penting: teorema-2 DeMorgan (T13 & T13’)

Contoh Teorema DeMorgan: NAND (X · Y)’ = (X’ + Y’) (X · Y)’ dirujuk umumnya sebagai gerbang NAND pada ekspresi gerbang logika 

Contoh Teorema DeMorgan: NOR (X + Y)’ = (X’ · Y’) (X + Y)’ dirujuk sebagai gerbang NOR pada ekspresi gerbang logika 

Gerbang-2 NAND & NOR Menggunakan jumlah rangk. yang lebih sedikit ketimbang gerbang-2 AND & OR Fan-in & Fan-out AND Extra ciruits NAND

Generalisasi Teorem DeMorgan (T14) [F(X1, X2, . . ., Xn, +, ·)]’ = F(X1’, X2’, . . ., Xn’, · , +) Diberikan suatu ekspresi logika n-variabel, komplemennya dapat ditemukan melalui “swapping + dan · dan penkomplemenan seluruh variabel Contoh: F(W,X,Y,Z) = (W’ · X) + (X · Y) + (W · (X’ + Z’)) = ((W)’ · X) + (X · Y) + (W · ((X)’ + (Z)’)) [F(W,X,Y,Z)]’ = ((W’)’ + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + ((X’)’ · (Z’)’)) Gunakan (T4) (X’)’ = X, pers. Diatas dpt disederhanakan menjadi: [F(W,X,Y,Z)]’ = (W + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + (X · Z))

REVISI Dualitas Setiap teorema pd aljabar switching tetap benar jika 0 & 1 di-swapped dan · & + di-swapped. Benar karena seluruh duals dari seluruh aksioma adalah benar, sehingga duals dari seluruh teorema aljabar switching dapt dibuktikan dengan menggunakan duals aksioma-2. Kita dapat menuliskan kembali teorema DeMorgan sbg [F(X1, X2, …., Xn)]’ = FD(X1’, X2’, …., Xn’) Catatan … A · B + C  A + B · C  (A + B) · C Duality bukan berarti ekuivalensi !!

Manipulasi ekspresi Boolean Bagaimana menyatakan (A · B + C)? Gunakan teorema DeMorgan … A · B + C = ( ( A · B + C )’ )’ = ( ( A · B )’ · C’ )’ = ( ( A’ + B’ ) · C’ )’ ( A · B + C )’ = ( A’ + B’ ) · C’

Aksioma-2 dan Teorema-2 Aljabar Switching (A1) X = 0 if X ¹ 1 (A1’) X = 1 if X ¹ 0 (A2) If X = 0, then X’ = 1 (A2’) if X = 1, then, X’ = 0 (A3) 0 . 0 = 0 (A3’) 1 + 1 = 1 (A4) 1 . 1 = 1 (A4’) 0 + 0 = 0 (A5) 0 . 1 = 1 . 0 = 0 (A5’) 1 + 0 = 0 + 1 = 1 (T1) X + 0 = X (T1’) X . 1 = X (Identities) (T2) X + 1 = 1 (T2’) X . 0 = 0 (Null elements) (T3) X + X = X (T3’) X . X = X (Idempotency) (T4) (X’)’ = X (Involution) (T5) X + X’ = 1 (T5’) X . X’ = 0 (Complements) (T6) X + Y = Y + X (T6’) X . Y = Y . X (Commutativity) (T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T7’) (X . Y) . Z = X . (Y . Z) (Associativity) (T8) X . Y + X . Z = X . (Y + Z) (T8’) (X + Y) . (X + Z) = X + Y . Z (Distributivity) (T9) X + X . Y = X (T9’) X . (X + Y) = X (Covering) (T10) X . Y + X . Y’ = X (T10’) (X + Y) . (X + Y’) = X (Combining) (T11) X . Y + X’. Z + Y . Z = X . Y + X’ . Z (T11’) (X + Y) . ( X’ + Z) . (Y + Z) = (X + Y) . (X’ + Z) (Consensus) (T12) X + X + . . . + X = X (T12’) X . X . . . . . X = X (Generalized idempotency) (T13) (X1 . X2 . . . . . Xn)’ = X1’ + X2’ + . . . + Xn’ (T13’) (X1 + X2 + . . . + Xn)’ = X1’ . X2’ . . . . . Xn’ (DeMorgan’s theorems) (T14) [F(X1, X2, . . ., Xn, +, .)]’ = F(X1’, X2’, . . ., Xn’, . , +) (Generalized DeMorgran’s theorem)

Definisi lanjut – Ekspresi Boolean Term perkalian: Z’, (W · X · Y), (X · Y’ · Z), (W’ · Y’ · Z) Term penjumlahan: Z’, (W + X + Y), (X + Y’ + Z), (W’ + Y’ + Z) Ekspresi sum-of-products (SOP): Z’ + (W · X · Y) + (X · Y’ · Z) + (W’ · Y’ · Z) Ekspresi product-of-sums (POS) : Z’ · (W + X + Y) · (X + Y’ + Z) · (W’ + Y’ + Z) Term normal: term perkalian atau penjumlahan di dlmnya tidak ada variabel yang muncul lebih dari sekali Contoh-2 term-2 non-normal: W·X·X·Y’ W+W+X’+Y X·X’·Y Contoh-2 term-2 normal: W·X·Y’ W+X’+Y 0

Minterm dan Maxterm Minterm: Maxterm: Sebuah minterm n-variabel merupkan sebuah term perkalian normal dgn n literals. Terdapat 2n term perkalian yang demikian. Contoh-2 minterm 4-variabel: W · X’ · Y’ · Z’ W · X · Y’ · Z W’ · X’ · Y · Z’ Dapat didefinisikan sebagai sebuah term perkalian yang = 1 pada benar-benar satu baris dari tabel kebenaran Maxterm: Sebuah maxterm n-variabel merupakan sebuah term penjumlahan normal dengan n literals. Terdapat 2n term-2 penjumlahan yang demikian. Contoh-2 maksterm 4-variabel: W’ + X’ + Y + Z’ W + X’ + Y’ + Z W’ + X’ + Y + Z Dpt didefiniskan sebgaia sebuah term penjumlahan yang = 0 pada benar-2 satu baris dari tabel kebenaran

Minterms/Maxterms u/ sebuah fungsi 3-variabel

Representasi Penjumlahan Kanonis Minterm i : Baris i dari tabel kebenaran yang memiliki keluaran 1 1 Penjumlahan Kanonis (Canonical sum): Jumlah dari seluruh minterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Notasi S: Contoh: S X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7) = X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z’ + X·Y·Z Representasi ini biasa direalisasi dgn menggunakan rangkaian logika AND-OR 2 level dengan inverter-2 pada masukan-2 gerbang AND, sperti yang diperlukan

Contoh penjumlahan kanonis Fungsi direpresenyasikan dengan tabel kebenaran: mempunyai representasi penjumlahan kanonis sbb: F = S X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7) = X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z’ + X·Y·Z Row X Y Z F 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 Daftar Minterm menggunakan notasi S Penjumlahan minterms kanonis secara aljabar

Representasi perkalian kanonis Maxterm i: baris i dari tabel kebenara yang mempunyai keluaran 0 Pekalian kanonis: Perkalian dari maxterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Notasi P : Contoh: P X,Y,Z (1,2,5) = (X + Y + Z’) . (X + Y’ + Z) . (X’ + Y + Z’) Representasi direalisasi dgn menggunakan rangk. logika OR-AND 2 –levels dengan inverter-2 pada masukan-2 gerbang OR, seperti dibutuhkan

Contoh perkalian kanonis Fungsi direpresentasi dengan tabel kebenaran: memiliki representasi perkalian kanonis: F = P X,Y,Z (1,2,5) = (X + Y + Z’) · (X + Y’ + Z) · (X’ + Y + Z’) Row X Y Z F 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 Daftar Maxterm  notasi P Perkalian maxterms kanonis secara aljabar

Konversi antara daftar Minterm/Maxterm Dapatkan komplemen dari set … Contoh: S X,Y,Z(0,1,2,3) = P X,Y,Z(4,5,6,7) S X,Y(1) = P X,Y(0,2,3) S W,X,Y,Z(0,1,2,3,5,7,11,13) = P W,X,Y,Z(4,6,8,9,12,14,15)